中高考名師團成員
陳衛娟
自2001年參加工作以來，有5年任教初三畢業班，發表論文多篇。2005年獲維揚區說課比賽一等獎，2009年獲揚州市直中學青年數學教師優質課比賽一等獎，2009年在揚州市初中數學學科命題大賽中獲得一等獎。
列
一元二次方程解決實際問題是一個難點，但在中考試題中經常出現，解應用題的一般步驟可概括為「審、設、列、解、答」五步。
審:通過審題，把實際問題抽象成數學問題，分析已知量和未知量，以及它們之間的等量關係。
設：是指設未知數，注意寫清單位名稱。一道應用題，往往含有幾個未知量，應恰當地選擇其中一個用字母表示，然後根據各量之間的關係，將其他的未知量用代數式表示出來。
列:就是列方程，根據題目中的等量關係，用代數式表示相等關係中的各個量，就可得到含有未知數的等式，即方程。
解：就是解方程，求出未知數的值，通常根據方程的特徵選用合適的方法來解。
答:一般遵循「問什麼答什麼，怎樣問怎樣答」的原則，但要注意捨去不符合實際意義的解。
熱點題型
熱點一：用一元二次方程解容積、面積問題
在實際生活中，有許多可以用一元二次方程來解決的問題，這類問題主要是將數字與數字間的關係隱藏在圖形中，用圖形表示出來，這樣的圖形主要是三角形、四邊形，涉及到的計算有三角形的三邊不等關係、三角形全等、面積的計算、體積的計算、勾股定理等。解決此類問題關鍵要記住有關的幾何定理、面積和體積公式。
例1、一塊長方形鐵皮的長是寬的2倍,四角各截去一個正方形,製成高是5cm,容積是500cm3的無蓋長方體容器，求這塊鐵皮的長和寬。
解：設這塊鐵皮的寬為xcm.
5（2x-10）（x-10)=500
∴x1=15,x2=0（不合題意，捨去）
∴2x=30
答：這塊鐵皮的長為30cm，寬為15cm
練習1：如圖,在寬為20m,長為32m的矩形地面上,修築同樣寬的兩條互相垂直的道路,餘下的部分化為耕地,要使耕地的面積為540m2,道路的寬應為多少?（答案：2m）
點撥：注意將兩條小路分別向上和向左平移，可將這類問題變得簡單。
練習2：一塊矩形的地,長是24米,寬是12米,要在它的中央劃一塊矩形的花壇，四周鋪上草地，其寬都相同,花壇佔大塊矩形面積的5/9,求草地的寬。（答案：2m）
熱點二：用一元二次方程解增長率問題
方法指導：增長率問題，利用關係式：變化前數量×(1±x)2=變化後的數量。用一元二次方程解增長率問題時往往可以直接運用開平方法來解方程，注意要考慮最後的解是否都符合實際意義。
例1、在國家政策的宏觀調控下，某市的商品房成交價由今年3月份的14000元/m2下降到5月份的12600元/m2
（1）問4、5兩月平均每月降價的百分率是多少？（參考數據：
≈0.95）
（2）如果房價繼續回落，按此降價的百分率，你預測到7月份該市的商品房成交均價是否會跌破10000元/m2？請說明理由。
（1）解：設4、5兩月平均每月降價的百分率為x，根據題意，得
14000(1-x)2=12600
化簡，得(1-x)2=0.9
解得x1≈0.05,x2≈1.95（不合題意，捨去）
因此，4、5兩月平均每月降價的百分率約為5%
（2）解：如果按此降價的百分率繼續回落，估計7月份的商品房成交均價為
12600(1-x)2=12600×0.9=11340>10000
由此可知，7月份該市的商品房成交均價不會跌破10000元/㎡
練習：
1.（2010年四川成都）隨著人們經濟收入的不斷提高及汽車產業的快速發展，汽車已越來越多地進入普通家庭，成為居民消費新的增長點。據某市交通部門統計，2007年底全市
汽車擁有量為180萬輛，而截止到2009年底，全市的汽車擁有量已達216萬輛。
（1）求2007年底至2009年底該市汽車擁有量的年平均增長率；
（2）為保護城市環境，緩解汽車擁堵狀況，該市交通部門擬控制汽車總量，要求到2011年底全市汽車擁有量不超過231.96萬輛；另據估計，從2010年初起，該市此後每年報廢的汽車數量是上年底汽車擁有量的10％。假定每年新增汽車數量相同，請你計算出該市每年新增汽車數量最多不能超過多少萬輛。
解：（1）設該市汽車擁有量的年平均增長率為x。根據題意，得
150(1+x)2=216
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合題意，捨去）。
答：該市汽車擁有量的年平均增長率為20%。
（2）設全市每年新增汽車數量為y萬輛，則2010年底全市的汽車擁有量為216×90%+y萬輛，2011年底全市的汽車擁有量為(216×90%+y)×90%+y萬輛。根據題意得
(216×90%+y)×90%+y≤231.96
解得y≤30
答：該市每年新增汽車數量最多不能超過30萬輛。
熱點三：用一元二次方程解利潤問題
關鍵：單件商品的利潤×商品總件數=總利潤
例1、（2010年浙江省紹興市）某公司投資新建了一商場,共有商鋪30間。據預測,當每間的年租金定為10萬元時,可全部租出。每間的年租金每增加5000元,少租出商鋪1間。該公司要為租出的商鋪每間每年交各種費用1萬元,未租出的商鋪每間每年交各種費用5000元。
（1）當每間商鋪的年租金定為13萬元時,能租出多少間？
（2）當每間商鋪的年租金定為多少萬元時,該公司的年收益（收益＝租金－各種費用）為275萬元？
解：（1）∵30000÷5000＝6,∴能租出24間。
（2）設每間商鋪的年租金增加x萬元,則
（30－ ）×（10＋x）－（30－
）×1－ ×0.5＝275，
2x2－11x＋5＝0，∴x＝5或0.5，
∴ 每間商鋪的年租金定為10.5萬元或15萬元。
練習1、某商場銷售一批襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元。為了擴大銷售,增加盈利,商場決定採取適當的降價措施。經調查發現,在一定的範圍內,襯衫的單價每降1元,商場平均每天可多售出2件。如果商場通過銷售這批襯衫每天要盈利1200元,襯衫的單價應降多少元?（答案：10元或者20元）
練習2、某批發商以每件50元的價格購進800件T恤，第一個月以單價80元銷售，售出了200件；第二個月如果單價不變，預計仍可售出200件，批發商為增加銷售量，決定降價銷售，根據市場調查，單價每降低1元，可多售出10件，但最低單價應高於購進的價格；第二個月結束後，批發商將對剩餘的T恤一次性清倉銷售，清倉是單價為40元，設第二個月單價降低x元。
（1）填表（不需化簡）
時間 第一個月 第二個月 清倉時
單價（元） 80 40
銷售量（件） 200
（2）如果批發商希望通過銷售這批T恤獲利9000元，那麼第二個月的單價應是多少元？
答案：
(1)80-x，200+10x，800-200-（200+10x)
(2)70元
熱點四：一元二次方程與動態幾何問題
方法指導：較為複雜的一元二次方程在幾何圖形上的應用，往往要藉助一些幾何知識，如面積公式、勾股定理、相似等。解決此類問題的關鍵：觀察圖形，根據等量關系列出方程。
例1、如圖所示，在ABC中，∠B=90°AB=5cm,BC=7cm。點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動。
（1） 如果P、Q分別從A、B同時出發，那麼幾秒後，PBQ的面積等於4cm2？
（2） 小明在解答上述問題時，求得SPBQ=7cm2請你判斷一下，他做得對嗎？並說明理由。
答案（1）1s（2） PBQ的面積不可能等於7cm2。
練習1、如圖，A、B、C、D為矩形的四個頂點，AB=16cm，BC=6cm，動點P、Q分別從點A、C出發，點P以3cm/s的速度向點B移動，一直到達B為止；點Q以2cm/s的速度向點D移動。經過多長時間P、Q兩點之間的距離是10cm？
（答案：1.6或4.8）
練習2、如圖所示，在ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，點P從點A出發沿邊AC向點C以1cm/s的速度移動，點Q從C點出發沿CB邊向點B以2cm/s的速度移動。
（1）如果P、Q同時出發，幾秒鐘後，可使PCQ的面積為8平方釐米？
（2）點P、Q在移動過程中，是否存在某一時刻，使得PCQ的面積等於ABC的面積的一半。若存在，求出運動的時間；若不存在，說明理由。
（答案：（1）2或4
（2）不存在）