一道全國初中數學競賽題:求AC的長,看似簡單,正確率卻不足10%

2021-01-11 大教育者

大家好，今天和大家分享一道全國初中數學競賽題：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=15°，BC=1，求AC的長度？這道題目看起來很簡單，但是據說正確率卻不足10％。下面我們一起來看一下這道題，如圖1。

圖1

不少網友看到這道題都會覺得很簡單：AC=BC·tan15°即可求出AC的長。但是在初中數學中，15°並不算是特殊角，其三角函數值也不能直接使用，那麼究竟該怎麼求解呢？

初中階段雖然沒有要求記住15°角的三角函數值，但是一般老師都會教學生去推導15°和75°的三角函數值。下面先介紹一個15°角三角函數值的推導方法。

圖2

如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1。接下來我們來構造出15°的角，怎麼構造呢？

延長CB至D，使得BD=AB。

在三角形ABD中，就有∠D=∠BAD；

又∠ABC=∠D+∠BAD，所以∠D=15°。

這樣一來，我們就構造出了一個15°的角，然後在三角形ACD中進行計算。

因為AC=1，所以BC=√3，AC=2，從而得到BD=2；

由勾股定理可以算出AD=√6+√2，此時可以求出15°角的三角函數值。

圖3

再回到競賽題，15°不是特殊角，所以我們需要通過做輔助線構造出一個特殊角，比如30°角。那麼怎麼構造呢？將圖3和圖1比較一下是不是可以發現兩個圖形基本差不多啊？所以我們可以從圖3得到啟發，那就是在三角形內部構造出一個30°角出來。

如圖，作AB的垂直平分線交BC於點E，連接AE。

根據垂直平分線的性質，得到AE=BE，所以∠BAE=∠B=15°，所以∠AEC=∠BAE+∠B=30°。這樣就構造出了一個30°的角，如圖4。

圖4

設AE=x，則BE=x，CE=BC-BE=1-x。在直角三角形ACE中，因為∠AEC=30°，所以CE/AE=√3/2，即(1-x)/x=√3/2。解得x=4-2√3，所以AC=2-√3。如圖5。

圖5

另外，也可以直接設AC=x。在直角三角形ACE中，因為∠C=90°，∠AEC=30°，所以CE=√3x，AE=2x，所以BE=2x，所以BC=CE+BE=√3x+2x=(√3+2)x=1，同樣可以解得x=2-√3，如圖6。

圖6

這是一道幾何題，據說當時正確率不足10％，難點就在於作出適當的輔助線。只要輔助線做出來了，這道題的難度就變得非常簡單。其實作輔助線一直是初中幾何題的一個重點和難點，很多同學都是因為作不出輔助線而無法求解。你覺得這道題難嗎？

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