大家好,我是至善數學劉老師,馬上秋季要開學了,同學們也會面臨小升初考試,今天劉老師講小學奧數中的行程問題,行程問題也是小升初必考和常考的題型,希望幫助同學們全面掌握行程問題,考上理想的初中。
行程問題的基本要素是路程、速度、時間,理解和掌握三者的基本關係,路程=速度×時間,時間=路程÷速度,速度=路程÷時間,行程問題有平均速度、相遇問題、追及問題、環形跑道、火車過橋、流水行船、多人行程、鐘錶問題、扶梯問題、發車問題、動物賽跑、接送問題、變速變道等。今天我們先講前面6種。
例:甲汽車5小時行駛300 千米,乙汽車每小時比甲汽車多行駛10千米。乙汽車3小時能行駛多少千米。
解:(300÷5+10)×30=210(千米)
1、平均速度的基本關係式:
平均速度=總路程÷總時間
總時間=總路程÷平均速度
總路程=平均速度×總時間
例:阿牛去爬山,上山時每小時行3千米,下山時每小時行6千米, 往返共用10小時,阿牛往返一趟共行了多少千米。
解:6×2÷(6÷3+6÷6)×10=40(米)
2、相遇問題的基本關係式:
路程和=速度和×相遇時間 相遇時間=路程和÷速度和
速度和=路程和÷相遇時間 速度和=速度1+速度2
a、相遇問題兩種方向的相遇問題:
(1)相向而行 (2)背向而行
總結:相遇問題的特徵是同時出發,方向相反。
b、簡單相遇問題求解方法:
(1) 牢記三個量:路程和、速度和、相遇時間
(2)從問題出發,找到題目所求問題的類型
(3)從條件裡去找其餘的兩個量,最後代入求解
例:貨車和客車分別從兩地出發相向而行,貨車提前一小時出發。已知貨車每小時行駛50千米,客車每小時行駛70千米,兩地相距 530千米,問:客車行駛幾小時可與貨車相遇。
解:[530-(50×1)]÷(50+70)=4(小時)
例:兩地相距 1000 米,小至和明明二人同時從一個地方向另一個地方行走,當其中的一個人到達後立即返回與另一個人相遇, 小至的速度是每分鐘45米,兩人經過25分鐘後相遇,請問明明的速度是多少。
解:1000x2÷25-45=35(米/分)
3、追及問題的基本關係式:
路程差=速度差×追及時間 速度差=路程差÷追及時間
追及時間=路程差÷速度差 速度差=速度1-速度2
簡單追及問題
求解方法:
(1) 從問題出發,找到所求的問題類型。
(2) 找到追及問題裡其餘兩個條件。
比如:問題求「路程差」,就在題目中找到速度差、追及時間。
(3) 代入公式,進行求解。
例:甲乙兩架飛機在同一機場起飛,甲先起飛4小時,每小時飛行 500千米,乙計劃在5小時後追上甲,那麼乙每小時應該飛多遠。
解:500x4÷5+500=900(千米)
例:甲乙兩人從北京出發準備去天津,甲提前出發了3小時,每小時行駛 50千米,乙每小時行駛80千米,請問乙出發幾小時可以追上甲。
解:50×3÷(80-50 )=5(小時)
4、環形跑道求全程的基本關係式
a、雙人行程問題的一般公式
路程和=速度和×相遇時間 路程差=速度差×追及時間
b、同時同地背向而行,相遇一次,合走一圈;
同時同地同向而行,追上一次,快的比慢的多走一圈。
c、環形跑道求全程
一圈長=速度和×相遇時間
一圈長=速度差×追及時間
d、同時異地同向而行,如果快的在前,則路程差=一圈長-距離;
如果快的在後,則路程差=距離。
例:甲、乙、丙三人騎摩託車同時從湖邊同一地點出發,繞湖騎行。 甲的速度是60千米/時,乙的速度是40千米/時,他們兩人同方向而行,丙與他們反方向行走。丙的速度是 30千米/時。甲與丙先相遇,再過2小時,乙與丙相遇。請問,繞湖一周的行程是多少千米?
解:(40 +30)×2÷(60-40)×(60 +30) =630(千米)
例:有一個圓形跑道周長是600米,甲在乙前面距離240米處,兩人同時沿順時針方向跑。已知甲每分鐘跑120米,乙每分鐘跑 100米,問幾分鐘後甲追上乙? 如果追上後繼續跑,問再過多少分鐘,甲第二次追上乙?
解:(600-240)÷(120-100)=18(分鐘)600÷(120-100)=30(分鐘)
5、火車過橋問題基本關係式
a、火車完全過橋問題公式;
橋長+車長=車速×時間
時間=(橋長+車長)÷車速
橋長=車速×時間-車長
車長=車速×時間-橋長
b、火車完全在橋問題公式:
橋長-車長=車速×時間
時間=(橋長-車長)÷車速
橋長=車速×時間+車長
車長=橋長-車速×時間
c、火車過人問題公式
人不動:時間=車長÷車速
人動:方向相反→相遇時間=車長÷速度和
方向相同→追及時間=車長÷速度差
d、火車過火車問題公式
錯車(方向相反)→錯車時間=(甲車長+乙車長)÷ (甲速+乙速)
超車(方向相同)→超車時間= (甲車長+乙車長)÷ (甲速-乙速)
例:阿至坐火車去拉薩旅遊,這列火車長200 米,它以每秒20米的速度穿過300米長的隧道,從車頭進入隧道到車尾離開隧道共需要多少秒?
解:(200 +300)÷20=25(秒)
例:一列從湖南開往貴州的火車長 150米,每秒行 15米。全車通過長600 米的大橋,需要多少時間?
解:(150+600)÷15=50(秒)
例:一列火車長 100米,每秒行10米,通過一座大橋共用40秒,若速度變為每秒20 米,求火車完全在橋的時間是多少?
解:10×40-100=300(米) (300-100)÷20=10(秒)
6、流水行船的基本關係式:
順水路程=順水速度×順水時間
逆水路程=逆水速度×逆水時間
順水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=(順水速度+逆水速度)÷2
水速=(順水速度-逆水速度)÷2
例:丁丁乘船在靜水中每小時行18千米,水流速度是每小時2千米。丁丁乘船從甲地逆水航行到乙地需要15小時。求甲、乙兩地的路程是多少千米?
解:(18-2)×15 =240(千米)
例:甲地和乙地分別位於一條河的兩個碼頭,已知兩地相距352千米,一艘船從甲地到乙地順流而下,行完全程需要11小時。從乙地到甲地逆流而上,行完全程需要16小時,求這條河的水流速度。
解:(352÷11)-(352÷16)÷2 =5(千米/時)
行程問題的前6種類型講完了,下次講後面7種類型,歡迎大家關注我,如果大家有什麼問題,可以發表評論或私信給我,大家下次再見。