影視中的數學文化賞析——以《博士熱愛的算式》為例
作者：王文靜，彭剛
來源：《數學通報》2020年第59卷第3期
長久以來，普通大眾對於數學學科以及數學家的看法都存在一定程度的誤解.在一般人眼中，數學往往是跟枯燥乏味、機械訓練以及繁瑣困難聯繫在一起的[1][2].然而，作為文化的數學其實是十分豐富多彩的，在許多數學家心目中，數學也具有一種特殊的美感.英國著名數學家、哲學家羅素(Bertrand Russell，1872—1970)曾這樣描述數學的美：它是「一種冷峻嚴肅的美，就像是一種雕塑.⋯⋯這種美沒有繪畫或音樂那樣華麗的裝飾，它可以純潔到崇高的程度，能夠達到嚴格的只有最偉大的藝術才能顯示的完美境界」[3].
為了更好的傳播數學的意義與價值，許多數學研究者以及愛好者們通過各種方式作出了諸多努力.在西方，美國著名科普作家馬丁·加德納(Martin Gardner，1914—2010)自1957年便在《科學美國人》開闢了「數學遊戲」專欄，到臨近退休他共撰寫了200多篇與趣味數學有關的專欄文章，「把普通人眼中枯燥乏味的數學變得生動有趣，由此將無數人引入了數學殿堂」[4].在我國，儘管數學文化傳播起步較晚，但在幾代數學家的努力下也有了很大的進步.比如自2008年開始，由李大潛院士主編的《數學文化小叢書》便陸續出版(目前已出齊三輯，每輯中包含10個小冊子)，其中每個小冊子均圍繞數學的某個主題展開(這些主題往往涉及數學在促進人類文明發展過程中的重要作用)；這套叢書不僅提供了豐富的數學知識，充分體現了數學之「體」，內容中還注重闡釋數學的精神、思想與方法，從而揭示出了那些主題中所蘊含的文化之「魂」[5][6].
近二十年來，以《美麗心靈》(2001，美國)、《蝴蝶效應》(2004，美國/加拿大)、《博士熱愛的算式》(2006，日本)、《數學的故事》(2008，英國)以及《知無涯者》(2015，英國)等為代表的外國影視作品在數學文化傳播方面異軍突起.相對於科普文章和書籍，這些直觀形象的影視作品對數學專業知識要求有所降低，受眾更為廣泛，因而蘊含數學文化的影視作品對公眾數學意象的影響力也不容忽視.考慮到我國這方面的影視作品特別缺乏，本文即對這些國外影視作品進行初步的介紹，並以《博士熱愛的算式》為例對蘊含其中的數學文化進行探討.
2. 數學文化影視概觀所謂數學文化影視，是指與數學有關的影視作品，大致可分為以下兩類：第一類是以數學為主題的紀錄片，比如英國廣播公司(BBC)出品的紀錄片《數學的故事》在全世界有很大的知名度；第二類則是與數學有關的電影，這也是本文主要探討的.
《數學的故事》海報《美麗心靈》海報《知無涯者》海報在所有數學文化傳播途徑中，電影也許是受眾最為廣泛的方式.2001年電影《美麗心靈》上映，講述的是數學天才約翰·納什(John Nash，1928—2015)在妻子的幫助下與自己的精神疾病不斷奮鬥、最終戰勝自我並獲得諾貝爾經濟學獎的故事.儘管《美麗心靈》中涉及的數學知識並不多，但全世界無數觀眾仍被該片極富人性的劇情深深打動，同時博弈論在經濟學中的重要作用也廣為人知.2015年，另一部影響力較大的數學家傳記電影《知無涯者》上映，講述的是印度國寶級人物、數學奇才拉馬努金(Srinivasa Ramanujan，1887—1920)克服重重困難、不斷探索數學的無窮奧秘的故事.總體而言，與其他科學家傳記電影類似，《美麗心靈》和《知無涯者》這類數學家傳記電影側重於描述數學家們對於數學研究的執著追求，從而揭示出這些數學家的非凡人性.
除了傳記電影，還有一些是反映數學某個概念或者某方面知識的，比如2004年上映的《蝴蝶效應》(The Butterfly Effect)（編者註：原文配圖為2006年上映的《蝴蝶效應2》）便是將混沌理論引申到主人公的生活當中.電影開篇介紹的就是混沌理論中的「蝴蝶效應」：縱使細微如蝴蝶之鼓翼，也能造成千裡外之颶風.與《蝴蝶效應》類似的電影還包括《心慌方》(Cube，加拿大，1997)、《死亡密碼》(Pi，美國，1998)等等.這些電影主要是科幻、懸疑主題，巧妙地將數學知識融人到故事當中，因而均具有很強的觀賞性.
《蝴蝶效應》海報《心慌方》海報《死亡密碼》海報上述兩類數學文化影視作品各有特點.一般而言，數學主題的紀錄片所包含的數學知識較為豐富，而與數學有關的電影則故事性更強、或者揭示出了數學家更為豐富的人性.
在所有的數學文化影視中，有極少數作品能夠將豐富的數學知識、數學思想融入到數學家人性的刻畫中，《博士熱愛的算式》則是其中的代表.下面我們對這部電影中所蘊含的數學文化進行探析.
3《博士熱愛的算式》中的數學文化3.1《博士熱愛的算式》簡介
電影《博士熱愛的算式》改編於同名小說，《美麗心靈》和《知無涯者》也是如此.不同的是，《美麗心靈》和《知無涯者》刻畫的均是真實的數學家，而《博士熱愛的算式》中的故事則是虛構的.
博士の愛した數式博士の愛した數式小說《博士熱愛的算式》(另有譯名《博士的愛情算式》、《博士的愛情方程式》)的作者是日本著名女作家小川洋子；這部小說是她的代表作之一，曾獲日本多項出版獎項，講述的是因為車禍而只有80分鐘記憶力的數學博士與家庭保姆以及她的兒子之間利用美麗的數字和數學公式進行暖人心扉的交流的故事.
3.2《博士熱愛的算式》中的數學文化
小川洋子創作《博士熱愛的算式》的目的是希望藉此故事呈現出數字的永恆和人類的有限之間的對比，這使得這部小說和同名電影中呈現出了別具一格的數學文化.對此，作家小野有如下精彩的評論：博士將數學本身所蘊含的豐沛生命釋放出來，把複雜的人生簡單化，把簡單的數學豐富化[7].儘管小說中有許多關於數學的溫情描述並不能完全在電影中呈現，但電影中所蘊含的數學元素仍然十分豐富.下面我們以問題的方式圍繞這些元素進行數學文化方面的探討.
(1)博士為什麼把保姆的兒子稱為「根號」?
小說《博士熱愛的算式》是以保姆的視角來講述他們母子倆與博士之間的故事，電影則改編成了以她兒子(博士將他取名為「根號」)的視角，整個故事是由長大後當了數學教師的「根號」貫穿於一堂數學課中講述的.
電影的這種改編取得了良好的效果，有網友評論到：「黑板上寫不下複雜的世界，卻能填滿愛」，並直言如果當年也能感受到這樣的數學課堂，就不會那麼討厭數學了；還有網友發出了頗有哲理的感慨：人生中有數學，數學中有人生[8].事實上，許多數學家已將數學研究與自己的人生融在了一起；正因為如此，數學符號對於他們的意義也非同一般.
在歷史上，的確有把小孩與數學符號聯繫在一起的數學家，他就是20世紀傳奇數學家保羅·埃爾德什(1913—1996).根據埃爾德什的傳記，在生活中他十分喜愛小孩；如果看到一個小孩子，他會喊道：「一個
影片中，當博士初見保姆十歲的小孩時，親切地摸著他的頭說：「我看得出你有個聰明的腦袋，好了，你就叫『根號』；你接受任何數字，一個也不拒絕，是真正慷慨的符號.」在博士心目中，「根號」是有著頑強的生命的，正如保姆她那堅強的孩子、幾乎每天都是獨自一人等待媽媽下班回家陪他一樣.在數學家看來，數學符號並不是冷冰冰的，而是富有生命的活力的，這就是博士把保姆的兒子稱為「根號」的原因.
(2)博士為什麼對整數如此鍾情?
由於車禍博士只能保持連續80分鐘的記憶，熱愛數學的他記憶這個世界的方式，便是記住每一個整數所代表的意義[7].之前來博士家工作的九個保姆完全不能理解博士的這種生活方式，因而紛紛離開；直到「根號」母親的到來.
影片中，博士與「根號」的母親之間有許多有趣的對話，這些對話處處體現出了博士對於整數的熱愛.比如每天上午一見到保姆，博士問的不是她的名字，而是「你穿幾號鞋」，當聽到保姆回答「24號」時，博士便說：「哦，真是個尊貴的數，它是4的階乘」；接下來當博士聽到保姆回答她的電話萬方數據16數學通報 2020年 第59卷 第3期號碼是「576—1455」時，博士又會點點頭，佩服地說到：「真了不起，這是1億以內的質數總數」.
博士還興致勃勃地向保姆介紹了神奇的親和數(Amicable numbers).保姆的生日是2月20日，而博士在大學裡關於超越數的論文所獲得的校長獎章編號是284，220和284恰好是最小的一對親和數，即：這兩個數中每個數的真因數之和恰好等於對方.歷史上，許多著名的數學家如畢達哥拉斯(Pythagoras，約公元前570年一公元前500年)、費馬(Pierre de Fermat，1601—1665)、笛卡兒(Ren6 Descartes，1596—1650)、歐拉(Leonhard Euler，1707 1783)以及上面提到的埃爾德什都曾研究過親和數.事實上，埃爾德什的傳記中對親和數有較多的介紹，而小說《博士熱愛的算式》的參考文獻中就有這本傳記，並且小說中的博士也是數論專家和喜歡小孩子，與埃爾德什十分類似，因此許多人猜測小說中博士的原型是埃爾德什.埃爾德什的傳記中文譯名為「數字情種」(英文原名為The Man Who Loved Only Numbers)，這在一定程度上解釋了影片中的博士對整數為何如此鍾情.
博士向保姆介紹親和數220和284從更為廣泛的角度來看，古往今來數學家之所以對整數如此熱愛，源於他們對於整數中呈現出的奇妙規律的強烈好奇心；電影中涉及的親和數以及完全數(Perfect number，即所有真因數的和恰好等於自身的整數)的性質就是這些奇妙規律中兩個典型例子.事實上，數論這門研究整數性質的學科是最古老的數學分支之一，古希臘數學家歐幾裡得(Euclid，公元前300年左右)流傳千古的名著《幾何原本》(Elements)中就有三卷涉及數論的相關知識.然而，儘管人類已經破解了關於整數的許多奧秘，但對於整數的理解仍十分有限.比如，到目前為止人類已經找到了超過12億對的親和數[10]，但親和數是否有無窮多對仍是一個未解之謎.類似的問題還有很多，2013年華人數學家張益唐作出重大突破的孿生素數猜想就是近年來十分具有影響力的數論問題[11].問題是數學的心臟，數論中有如此多有趣而又深刻的問題等待人類去解決，有那麼多像埃爾德什以及博士一樣的數學家鍾情於整數便不覺得奇怪了.
(3)為什麼包括博士在內的很多數學家認為歐拉公式是最美的公式?
「欲把西湖比西子，淡妝濃抹總相宜」，這是宋代大詩人蘇軾(1037—1101)形容西湖之美的佳句；詩中的西湖美景以及西施美人，都是人們可以直觀感受的.然而，數學證明以及數學公式之美妙，對於一般人而言可能就沒那麼顯然了.電影中「根號」老師在課堂上介紹了許多有趣的數學知識，除了上面提到的根號、親和數以及完全數，還著重介紹了自然底數
「根號」老師向學生們解釋歐拉公式影片中關於「美醜證明」的對話也是令人深思.當保姆對「數學證明還有美麗和醜陋之分」產生訝異和疑惑時，博士堅定地回答到：「那當然!完美的證明應該堅固而又柔美，沒有一絲縫隙，和諧而又沒有矛盾」.事實上，許多數學家像博士那樣，在長期的數學研究中形成了對於數學的獨特的欣賞能力；在他們眼中，數學證明有優雅的和平凡的，數學公式也有美麗的和醜陋的.英國著名數論學家哈代(Godfrey Harold Hardy，1877-1947)甚至認為在數學中優美是第一關，而醜陋的數學則在世上無永存之地[12]。
那麼，到底該如何理解在數學中也存在美呢?這其實與對數學學科的認識有關.一般而言，作為研究數、形與結構的一門學科[13]，數學往往被認為是科學的皇后，崇尚的是理性精神，與藝術似乎沒有太大關係.然而事實並非如此.哈代認為數學家與畫家和詩人一樣都是模式(patterns)91]造者，只不過畫家使用的是形狀和色彩、詩人使用的是言語和文字，而數學家使用的是概念[12].英國著名數學家阿蒂亞(Michael Atiyah，1929-2019)的觀點則更為直接，他認為數學本身部分是科學，部分是藝術[14].
既然數學具有藝術的成分，數學中就有美的存在.那麼數學美的評價標準又是什麼呢?關於這一問題，儘管並沒有統一的觀點，但「簡潔」與「深刻」是很多數學家都十分認同的兩個標準.在數學中，有很多結論是十分簡潔的，比如「
歐拉公式無疑是簡潔的，同時這個公式也是極為深刻的：它利用最基本的運算把數學中最常用的五個常數
(4)數學家都像影片中的博士一樣「不食人間煙火」嗎?
當「根號」的母親初次走進博士的房間的時候，她發現整個環境給她最深的印象就是一片悽涼，而且房間十分狹窄，裡面的家具無論哪件都很廉價，走廊地板一踏上就發出毛骨悚然的響聲.更讓她覺得很難接受的是，博士從不吩咐她做任何事，最大希望就是她呆著不動，然後自己靜靜地思考問題.
博士在思考數學問題在「根號」母親的眼中，博士似乎是那種人們常說的「不食人間煙火」的類型：與社會脫節、不喜歡與人溝通與交流.其實這並不是大部分數學家的生活方式.事實上，在任何一個群體中，都有類似於博士這樣性格的人，但都是少數的.正如北京國際數學研究中心許晨陽教授在2017年度未來科學大獎「數學與計算機科學獎」上的致辭中所言，英語單詞「mathematician」的準確含義是「數學工作者」；相對於「不食人間煙火者」，對於數學工作者更為恰當的描述是「人類認知邊界的擴充者」[17]，他們盡心盡力地踐行著100多年前著名數學家希爾伯特(David Hilbert，1862—1943)的信念：我們必須知道，我們必將知道(wirmOssenwissen.Wir werden wissen.這也是希爾伯特的墓志銘.
當然，正如影片中的博士一樣，幾乎所有的(特別是研究純數學的)數學家都需要大量的時間思考，因為數學研究(特別是純理論研究)與其他研究不同，「只需要服從數學世界的客觀法則」[17]，是近乎在理想世界中進行的.關於數學家的研究世界，卡培爾曾有如下精彩的描述[18]：
所有的數學家生活在兩個不同的世界裡.一個是由完美的理想形式構成的晶瑩剔透的世界，一座冰宮；另一個則是平凡的世界，⋯⋯數學家們穿梭於這兩個世界，在透明的世界裡，他們是成人，在現實的世界裡，他們則成了嬰兒.
希爾伯特的墓碑由此可見，與一般人而言，數學家對於現實世界的生活的關注相對是比較少的；這可能是一些人認為他們「不食人間煙火」的原因吧.
影片中還有一個場景令人印象深刻.當博士千辛萬苦地解決了某本數學雜誌中很難的一個數學問題後，他收到了該雜誌創刊以來最高額度的獎金；然而獲此消息時博士卻顯得非常平靜，甚至還把獲獎明信片丟到了垃圾桶中.對於保姆要好好慶祝一下的提議，博士只是淡淡地說到：「沒什麼，我只不過是偷看了上帝的筆記本而已⋯⋯」.「偷看了上帝的筆記本」這一說法來自埃爾德什；他經常假設上帝有一本無限的數學天書，上面記載著所有定理的最佳證明[19].埃爾德什和博士一樣，一生都獻給了數學研究.我們無法知道是不是所有的數學家都像博士一樣淡泊名利，但有一點是肯定的：數學家們孜孜不倦地進行研究數學的最主要動力不是別的，而是徵服未知的渴望，是創造過程中震撼人類的邏輯與詩之美，也是去聆聽和發現世界運行規律的激動人心的時刻[17].
「對真理和知識的追求並為之奮鬥，是人類最崇高的理想之一」[20]，也是像博士這樣的數學家的真實寫照.他們有時候看似「不食人間煙火」，只不過是他們需要更多的時間和精力去探索數學的奧秘乃至宇宙的奧秘，這既是他們個人的榮耀，也是全體人類心智的榮耀[21].
4. 結語眾多周知，在數學學習中解題是非常重要的；但是，解題是數學學習的全部嗎?《博士熱愛的算式》中「根號」老師的數學課堂告訴我們，回答是否定的.數學的概念和公式有其歷史根源，有人文的溫度；如果你學會欣賞數學，你就會從中發現數學的魅力和美妙.
筆者曾經在碩士研究生課程中給學生播放過電影《博士熱愛的算式》，取得了良好的效果.在觀後感中，學生們紛紛表示從博士的故事中感受到了數學的不平凡的一面.有學生表示「最大的感受就是原來數學可以如此美妙，就像詩一樣用純淨的美、真實的美以及和諧的美」；有的學生則指出自己當初選擇數學專業是一種幸運，因為「儘管我們不能為這座大廈添磚加瓦，但能瞻仰過它的光輝也讓我覺得榮耀；因為我們可以比一般人更能『看見』世間人和事和物的『巧合』與『奇蹟』」；還有的同學結合電影內容對當前教育現實進行了反思[22].
在如今我們對待數學只是一味追求速度、答案、絕對正確的時候，我們何曾想過停下來，細細欣賞數字的奇妙與韻味呢?這部電影從另一個視角給我們展示了數字冰冷表面下隱藏的美麗的秘密和獨特的韻律.
由此可見，真正有內涵的數學文化影視，是具有豐富的教育價值的，主要體現在以下幾個方面：
(1)知識之諧.一般而言，與考試相關性不大的數學內容很難進入我國中學數學課堂，這使得我們的學生長期面對的數學世界具有很大的局限性.在這方面，數學文化影視可以起到重要的補充作用.(2)文化之魅.許多數學家提倡數學是一種有生命力的文化，然而在當前教學中，數學往往被分解成了眾多零碎的知識點，美麗的數學女王變成了X光下的照片.在這方面，數學文化影視揭示了數學與現實世界或人類其他知識領域之間的密切聯繫，展示出了數學文化的多元性和無窮的魅力，因而有助於引導學生從整體上認識數學，了解數學的意義與價值.(3)德育之效.數學學科德育是當前數學教育關注的焦點，數學文化影視則為發揮數學的德育價值提供了良好的素材.事實上，許多數學文化影視揭示出了數學背後的人文精神，特別是數學家在研究數學過程中所體現出來的頑強意志、堅韌不拔的精神，這些都有助於培養學生積極的情感態度和價值觀.當前，在中小學數學教學中利用數學文化影視來引導學生更好地品味數學、欣賞數學的做法似乎還不多見，這需要數學教育工作者的共同努力.
參考文獻[1]王庚.數學文化之魅力——西方數學影視大觀[J].科學, 2007(5)：57—61
[2]金振蓉.如何讓數學走近公眾——來自國際數學家大會的熱點話題(下)[N].光明日報，2002一08—28
[3]李文林.數學史概論(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2002
[4]王青建，孫茜.數學傳播大師——馬丁·加德納[J].自然辯證法研究，2010(5)：57—61
[5]王建磐.數學為體文化為魂——李大潛主編的《數學文化小叢書》第一、二輯讀後[J].數學教育學報，2015(2)：1—3
[6]林群.數學小叢書文化大觀園——讀《數學文化小叢書》[J].數學通報，2016(i)：63
[7]豆瓣讀書.博士熱愛的算式
[8]豆瓣電影.博士的愛情方程式
[9][美]保羅·霍夫曼.數字情種——埃爾德什傳[M].米緒軍，等譯.上海：上海科技教育出版社。2000
[10] Amicable pairs list[EB/OL].https://seth.me/ap/index.html
[11]劉建亞.孿生素數猜想[J].數學通報，2014(1)：1—2，7
[12]Hardy，G.H.A mathematician』S apology[M].Cambridge：Cambridge University Press，1940
[13]席南華.基礎數學的一些過去和現狀[J].中國科學院院刊，2012(2)：134—144
[14]Atiyah，M.F.Mathematics：art and science[J].Bulletin ofthe American Mathematical Society，2005(1)：87-88
[15]Rota，G.C.The phenomenology of mathematical beauty[J].Synthese，1997(2)：171—182
[16]Cellucci，C.Mathematical beauty，understanding，anddis—covery[J].Foundations of Science。2015(4)：339-355
[17]許晨陽.我心中的數學家——未來科學大獎獲獎致辭
[18]Nowlan，R.A.A dictionary of quotations in mathematics[M].Jefferson：McFarland&Company，2002
[19]彭剛.緬懷數學大師品味數學文化——紀念傳奇數學家埃爾德什誕辰100周年[J].數學通報，2014(7)：28-30
[20]孟建偉.科學與人文精神[J].哲學研究，1996(8)：18-25
[21]讓·迪厄多內.當代數學——為了人類心智的榮耀[M].沈永歡，譯.上海：上海教育出版社，1999
[22]彭剛.職前教師數學觀發展研究：數學史的視角[D].上海：華東師範大學，2017