牛頓迭代法（Newton's method）又稱為牛頓-拉夫遜（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛頓在17世紀提出的一種在實數域和複數域上近似求解方程的方法。
求解原理：
舉例
牛頓迭代法（matlab）求方程x^3-2x-1=0的根（-1）
clc;clear all;close all;syms x;f=(x^3-2*x-1);x0 = -0.85;eps = 1e-8;[x,k]=Newtondd(f,x0,eps);x = vpa(x)k
function [x,k]=Newtondd(f,x0,e)%%牛頓迭代法，求f(x)=0在某個範圍內的根。%%f為f(x)，x0為迭代初值，e為迭代精度。k為迭代次數 x_a=x0;x_b=x_a-subs(f,x_a)/subs(diff(f),x_a);k=1;while abs(x_a-x_b)>e, k=k+1; x_a=x_b; x_b=x_a-subs(f,x_a)/subs(diff(f),x_a); end x=x_b;endx =-1.000000000000000006731967303275k = 7舉例2
clc;clear all;x0 = 2;eps = 1e-4;max = 30;x1=newton(x0,eps,max)function x1=newton(t1,esp,m)syms x;fun=x^3+2*x-5;for k=1:m if abs(subs(diff(fun,'x'),x,t1))<esp x1=t1; break; else if subs(diff(fun,'x',2),x,t1)==0 break; disp('解題失敗！') else t0=t1; t1=t0-subs(fun,x,t0)/subs(diff(fun,'x'),x,t0); if abs(t1-t0)<esp x1=t1; break; end end endendx1=vpa(x1,8);clc;clear all;close all;syms xf1 = sin(x)-x.^2./4%設置目標函數f2 = diff(f1,'x')fun = inline('[sin(x)-x.^2./4,cos(x) - x/2]');x0 = 1.5;%初值ep = 1e-10;it_max = 1000;[x_star,index, it]=Newton_G(fun, x0, ep, it_max);fprintf('經過%d次迭代，函數方程根的近似解為：x=%.8f\n',it,x_star)%輸出迭代過程
function [x_star,index, it]=Newton_G(fun, x, ep, it_max)%求解非線性方程的Newton法，其中% fun(x) ---需要求根的函數，% 第一個分量是函數值，第二個分量是導數值%x ---初始點。% ep ---精度，當(x(k)-x(k-1)/<ep時，終止計算。省缺為1e-5% it_max ---最大迭代次數，省缺為100% x _star ---當迭代成功時，輸出方程的根% 當迭代失敗時，輸出最後的迭代值。% index ---當index=1時，表明迭代成功，% 當index=0時，表明迭代失敗（迭代次數>=it_max)% it --- 迭代次數。if nargin <4 it_max=1000;endif nargin <3 ep=1e-10;end
index=0; k=1;while k<=it_max x1 = x; f =feval(fun,x); if abs(f(2))<ep break; end x = x-f(1)/f(2); if abs(x-x1)<ep index = 1; break; end k = k+1;end x_star=x; it=k;end%運行結果%經過6次迭代，函數方程根的近似解為：x=1.93375376MATLAB相關內容往期回顧
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