第一部分
文章1
本文出現的定理：在三角形中，中線跟小的鄰邊所夾的角大於跟大的鄰邊所夾角。本文主要討論了一種三等分角的方法，即根據鐘的分針走過一角度，相應時針走過該角度的1/12，由此可以三等分一角。文章2
1）用正方形紙片對摺成一個等腰直角三角形，再用斜邊的中點做角頂折成相等的5個角，然後用剪刀剪出一個五角星2）用一張兩邊平行的紙條，挽一個結，把它小心的抽緊，不要讓它的邊捲起來，一面抽，一面用手慢慢的壓平，就會做成一個五邊形，再作出它的各對角線，就畫出了一個五角星只使用圓規和沒有刻度的直尺，是不可能把給定的一個任意角分成三等分的．但是數學並不否認可以使用其他工具來作這樣劃分的工作．為了達到這個目的，想出了許多機械的工具．這樣的三等分角的方法，已不是純幾何學的了，它可以叫做機械的方法．先指出這些器械三等分角的原理（阿基米德所得到的結果，圖1）：將所要三等分的角AOB的一邊BO延長，再用O作圓心，任意長r作半徑畫一個半圓，跟角的另一邊相交於C，在過C用直尺作一直線，使他跟半圓和BO的延長線交於E，F兩點，使EF恰巧等於r。則可以這樣作：我們事先在直尺上記下E，F兩點，使它們之間距離為r，然後繞C點滑動直尺，使其上E，F分別落在半圓和BO的延長線上。這樣就有∠F=∠AOB/3說明：如圖所示的三分角器是它實際的大小．(塗有陰影線的)圖中和半圓相接的一段AB，長度和半圓的半徑相等．另一段BD，和AC垂直，並在B點和半圓相切；BD的長度不限．
圖上也說明了這種三分角板的用法，假定我們要把一個角KPM(如圖)分成三等分．
把角KPM的頂點P放在三分角器的BD線上，使KPM的一邊通過A點，另一邊和半圓相切．然後作直線PB和PO，於是這個角就分成三等分了．
要證明這樣作法是正確的，把半圓的圓心O和切點N用線段連接．這時就很容易看出，三角形APB和三角形OPB全等，而三角形OPB和三角形OPN全等．從這些三角形的全等，可知APB=∠OPB=∠OPN，即我們把∠KPM分成三等分了．
還可以用二個直角三角板（一個等腰，一個兩銳角分別為30，60度）文章3
本文出現的重要詞條：奠定基礎法，平行移動法，利用對稱的方法，軌跡交截法，相似作圖法及代數解析法。
本文主要討論了利用有刻度的直尺或直尺與圓規「合用」來三等分一角。
兩者合用：
∠AOB是一個所要分的角，用角頂O做圓心，在角的一邊OA上取一任意長的線段OR做半徑，畫一個圓。再延長AO跟圓相交於C，然後用C做定點，用直尺和剛才畫圓的圓規合併移動，使過C點作出這樣的一線段，它跟圓OB線分別交於D，E兩點，而DE恰好等於圓的半徑，就是使圓規的兩腳恰好能落在D，E兩點上。再作OF‖CE，那麼OF就是∠AOB裡的一條三等分線了。因為，假如連OD，∠AOB=∠C+∠OEC=∠ODC+∠OEC=∠DOE+∠OED+∠OEC=3∠OEC=3∠EOF=∠FOB=∠AOB/3
刻度直尺：
∠AOB是所要分的角，先在∠AOB的一邊OA上截取一段OC，使它等於單位長的一半，再從C點作CM‖OB，作CD⊥OB，然後再過O作一條直線OF分別截CD和CM於E，F，使EF等於單位長。將直尺繞O點旋轉，同時留意直尺上那段單位長度兩端的刻度，讓他們分別落在CD，CM上。連接C和EF的中點G，則OF就是∠AOB的一條三等分線，因為在RTΔECF裡，CG=EF/2，而OC=EF/2，所以
OC=CG=FG，∠FOB=∠CFO=∠FCG=∠CGO/2=∠COG/2也就是
∠FOB=∠AOB/3
文章12
本文出現的重要曲線：蚌 線
有一定點O和一定直線l，它們的距離OM=a，經過O點的一條動直線l』遇直線l於Q，在動直線l』上取兩點P，P』，使PQ和P』Q都等於常數b，P，P』的位置隨l』的位置變化而變化，這兩個動點P，P』的軌跡就是蚌線。
本文出現的重要曲線：蚶（gan） 線
在圓上有一定點O從O作這個圓的弦OR，在OR和它的延長線上取兩點P，P』，使RP=RP'=a（一個常數），當OR繞O旋轉時，相應的R在圓上移動，那麼P，P』點的軌跡就是蚶線。
本文主要討論應用別的曲線來三等分一角，這些曲線也稱三等分曲線。
蚌 線
利用蚌線的特性，我們可以三等分一個角。
設∠BAC是所要三等分的角，過角的一邊AB上的任意點B，作AB的垂線，交另一邊AC於C，現在我們認定A作定點，BC作定直線，從A作一條直線（動直線）交BC於Q，在這條動直線上取P使PQ=2AC，那麼P的軌跡就是b>a的蚌線，不過這裡採用它的右支。
從C作BC的垂線跟這蚌線交於F，連AF，那麼∠BAF=∠BAC/3，這是因為
設AF和BC交於G，取GF中點E，連EC，由GCF為RTΔ，所以CE=EF，由根據蚌線的特性有，EF=AC
所以EF=AC=CE，∠CAE=∠CEA=∠ECF+∠EFC=2∠EFC
又AB‖CF，所以
∠EFC=∠BAF，∠CAE=2∠BAF
而∠BAC=∠BAF+∠CAE=∠BAF+2∠BAF=3∠BAF
所以∠BAF=∠BAC/3
附蚌線的三種情況：
蚶 線
設∠AOB是所要三等分的角，在其一邊上任取長OA作半徑，O為圓心作圓，並且延長AO交圓於C，現在我們認定C作定點，CA作定圓的直徑，作一蚶線，是動弦一端到軌跡上的一點的距離等於圓的半徑（可知這裡是a<d的蚶線），蚶線和角的另一邊OB交於E，連CE由O作OF‖CE，那麼∠FOB=∠AOB/3，因為
設CE和定圓交於D，連OD，由蟲甘線性質有
DE=OD=OC
所以∠OCD=∠ODC=∠DOE+∠DEO=2∠DEO
而∠AOB=∠OCD+∠DEO=2∠DEO+∠DEO=3∠DEO
又OF‖CE，所以∠DEO=∠FOB
因此∠FOB=∠AOB/3
附蚶線的三種情況：