偶遇「 三等分角」
期中考試日之午飯後，學生懷揣高數課本走向數學樓224，準備考試之前將有關疑問徹底掃清。不料走到跟前發現，門呈關閉狀。學生大驚：恩？高數老師不在？他欺騙了我們？正值憤怒之際，忽從玻璃縫中望見那張熟悉的面孔，學生大喜，於是推門而入……
高數老師見有學生進來，suddenly, a big smile綻放在臉上，孩子般開心得說：「你來了……」。學生顯然有些茫然，不知所云……既而環顧四周，學生見一位老者立於黑板前，手執粉筆，呈凝思狀盯著黑板上的圖，緊接又用標準上海話講解此題……（學生疑：老師不是浙江人嗎？對上海話還如此精通？）心想：等等看老師怎麼回答他？也用上海話？
……
一秒一秒又一秒，兩秒三秒四五秒過後，老師仍未開口說一句話，只作「微笑」之表情，而老者仍然我行我素滔滔不絕……（學生又疑：不對呀,不像是兩個老師在討論問題嘛!不懂，不懂。）眼看要上課了，學生只好打斷老者說：「老師，我有幾個問題。」孰知，老師聽後從原來得仰面半躺狀立馬變為正襟危坐，道：「好，咋了？啥問題？」（學生更疑？？？）
……
老者見狀，也回到對面座位上休息。只是後來又時而自言自語：「嗯，這篇論述我給某某老師看過；也給某某老師寄去過；我也找過AA老師；BB老師說這個還有點問題……不過，你是他們中態度最好的老師……」學生聞此，心中暗想「難道這個人就是使高數老師不敢回辦公室的那個對三等分角問題字字以求的老者？」「也不一定，誰知道呢，再說他怎麼可能跑到閔行來，嗯，不一定！」學生又想，順便看了老師一眼，老師仍做「苦笑」狀，學生作了個鬼臉，轉身背向老者，衝老師口型比劃道：「三等分角？」老師見了，苦笑，苦笑……
老者繼續自言自語，學生依然一片茫然，老師自然一直苦笑……
答疑接近尾聲，老師終於開口對老者道：「你這個問題嘛，三等分角問題沉積了兩千多年，我也不可能立馬就給你答覆，你回去再把那篇論述整理一下……」
「My God!」學生終於明白了：「還真是傳說中的三等分角啊！」學生再轉身衝老師「苦笑」……才明白為什麼老師剛才見學生進來如此高興。
無奈時間到了，學生有課不得不走。「好了，老師，我去上課了！」只見老師此刻「苦笑」也沒了，「嗯……」了一聲後緊接一聲長嘆：「唉！！！」（學生也實在不忍把老師獨自一人留在苦海中啊，無奈，無奈！！！）
學生離開，開門之際回頭望一眼見高數老師鬼臉相送，有呈仰面半躺狀……
此上文字摘自 汪曉勤教授學生的課程感想。
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張奠宙 彭翕成講數學 2017-06-14
一個小學老師上課，教學生計算。說如果要先算2+3，要把2+3括起來。這時學生就說，括起來太麻煩了，我畫一橫線可以麼？這個老師傻了眼，要說不可以，好像說不過去，又打擊學生積極性；要說可以，他以後真的不用括號，用橫線，咋辦？
這位老師來找我訴說。我說，你錯過了機會啊，你應該說，你的學生是天才，古代數學家正是這樣表示的。但後來不用橫線了，也有其道理，因為遇到一些括號很多的複雜式子，橫線太多，不美觀，也容易造成混亂。
一些年輕教師來問我如何作研究。我總是說：首先要把解題能力提高，能夠應付中高考，其次要多看看數學史，數學家傳記，研究一下信息技術。
解題是數學老師的看家本領，解題能力太差是站不住腳的。如果僅做題，不廣泛閱讀，也容易出問題。我贊成金庸先生所說的：武學和佛學並重。解題好比練武，增強技藝是一方面，同時要加強與數學專業相關的人文修養。
有些人不讀書，不了解過去，總說過去教學是填鴨式，現在是啟發式。其實填鴨式和啟發式，過去有，現在也都存在，和每個老師個體有關。有些人上課習慣照本宣科，有些人則是海闊天空。
如何把數學講好，讓人喜歡聽，這是不容易的。程民德院士主編的數學家傳記裡，排在首位的是吳在淵。吳在淵何許人也？（以後詳說）能排在最前面。吳文俊院士說：吳在淵（1884-1935）在數學上的貢獻很小。但他在數學教育上的貢獻很大。
下面這個案例給我留下深刻的印象。這與現在某些論文裡編造的「學生甲說，學生乙說……」的課堂實錄太不一樣了。
以上案例摘錄彭翕成網絡研修班講課資料。
一提起數學史，很多人馬上推薦，看《古今數學思想》啊。
《古今數學思想》自從被人戴上「最好的數學史著作」的帽子之後，推崇者多矣。
如果你對數學史有興趣，當然可以看。需要說明的是，一般的中學老師看了，恐怕用處不大。雖然該書描述了數學波瀾壯闊的歷史，但回到現實教學，結合不上。
我不主張急功近利的讀書，很多書讀了並不是馬上用得上的。高等數學對中學數學有指導意義，這一點很少人反對，但如何指導，如何關聯，這還需要研究。直接把《數學分析》《高等代數》塞給中學老師，恐怕效果不佳。研究出版中學數學和高等數學聯繫的書籍還是有必要的。
數學史的書籍也是如此。如果你太忙，沒時間看太多的書，建議看看和中學數學聯繫的上的數學史書籍，譬如張奠宙教授推薦的這一本。
張奠宙：它的出版必將成為我國數學史全面融入數學教育的一個歷史性標誌《HPM：數學史與數學教育》
作者：汪曉勤，華東師範大學教授、博士生導師，研究方向為數學史與數學教育。
內容簡介：數學史與數學教育（History and Pedagogy of Mathematics，簡稱 HPM）之間的關係是數學教育的一個研究領域，研究的課題包括：關於「為何」和「如何」的探討、教育取向的數學史、歷史相似性、數學史融入數學教學的實踐、HPM與教師專業發展、數學史融入數學教材等。本書全面展示了作者及其研究團隊近十年以來在上述各課題上的研究成果。
回顧近代的中國數學史研究，主要以探尋中國古代數學的發展史實為核心。前輩學者通過考古發現，史料整理，構建理論體系，基本上確立了中國古代傳統數學在人類文化史上的重要地位。這是一份寶貴的學術貢獻。正如李文林教授所說，這些研究是在為歷史而數學史，也在為數學而數學史；此外，還有不可缺少的一部分，便是要為教育而數學史。按理說，這三者，應該鼎足而立。不過，就實際情形而言，「為教育而數學史」的努力，顯然比較滯後。記得一位數學史名家曾對我說起過，在他的研究初期，要求他的學生必須全力投入數學史的學術研究，不許寫那些「沒有學術含量」的科普文章。這當然有一定道理，完全可以理解。在上一世紀，如果離開了純粹的學術研究，僅憑發表一些「科普文章」，斷難確立本單位的學術地位，更無法獲得令人尊崇的學術聲譽。
不過，為教育的數學史，未必沒有學術含量。我常將「為歷史而數學史」比喻作「和田玉礦床」的開採，而把「為教育而歷史」看做「玉石雕刻」的藝術。和田玉籽料是玉器的源頭，當然重要，但是玉石雕刻藝術同樣具有學術價值和藝術魅力。我想，HPM 就是這樣的一門藝術。HPM是數學史料的教育形態，需要對史料進行「教育」的加工、雕琢、創造才能完成。這是一份獨特的創新活動，也因而具有自身的學術價值。
如果說HPM研究是「為教育而數學史」的新階段，那麼1949年以來幾十年間的「為教育而數學史」，則不妨認為屬於初級階段。那時的有些做法比較簡單化。有一種做法是所謂「民粹式」。只講中國的某某數學成就比國外早多少年，教科書上只剩下祖衝之等寥落可數的幾個名字。以至於不少人認為中國古代數學總體上也早於古埃及和古巴比倫數學，造成誤解。第二種是「詞典式」。凡是涉及數學史的內容，旁邊有一位歷史人物頭像，如歐幾裡得，笛卡兒，歐拉，高斯等等。寫明生卒年份，說明做出了某某偉大的貢獻，就完事了。至於這段歷史和數學內容的關聯，則多半付之闕如。還有一種是「傳說式」。在一些教學參考資料中，往往宣揚一些並不可靠的數學家故事來博取讀者的注意。如笛卡爾之夢，說天花板上的蜘蛛使他發現了坐標系等等。以上這些做法，用意自然是好的，只是因為不夠深刻，姑且稱之為「初級階段」。
HPM的研究，則將「為教育的數學史」的教學引向更高的層次。這就是說，要用數學史內容揭示相關的數學內涵，營造數學文化氛圍，並與學生的數學認知規律密切聯繫，使之有利於學生對數學內容的理解。在教學實踐中，HPM需要緊扣三維教學目標，以學生喜聞樂見的形式呈現絢麗多彩的數學歷史文化，在嚴謹的數學邏輯理性體系裡投射出人文精神的光芒。
至於具體怎麼做，本書裡的許多案例，就是一批精心製作的範本。我在前面提到，本書的出版，將為數學史與數學教育的研究揭開新的一頁。這一頁之新，即在於這一批創新的範本，以及他們所支撐的HPM理念。
HPM 是在數學教育過程中，對數學史知識的一次再認識。在這方面，徐光啟對《幾何原本》的認識與欣賞是一個經典的榜樣。他在《幾何原本序》裡有一段話：
「此書有四不必：不必疑、不必揣、不必試、不必改；有四不可得：欲脫之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前後更置之不可得。」他還說：「(此書)有三至、三能：似至晦，實至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實至簡，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實至易，故能以其易易他物之至難。」
不妨認為，徐光啟對《幾何原本》的這一評價和欣賞，正是今日平面幾何教學的目的。我們從第一節課的「對頂角相等」開始，就要用HPM的理念進行教學加工。具體說來，首先，我們要到「數學史」庫房裡尋找一塊「對頂角璞玉」。形態如下：
定理 「對頂角相等．」如圖1，兩條直線相交，那麼角A等於角B。
圖1 兩直線相交示意圖
在世界名著、歐幾裡得編寫的《幾何原本》中，「對頂角相等」是命題15。證明如下：A+C是平角，B+C也是平角，然後根據公理3（「等量減等量，其差相等」），所以A=B。
現在我們試將這塊「璞玉」雕琢成一件HPM精品。
事實上，這個定理非常直觀，一眼就看出來了！沒有人懷疑它的正確性。那麼，我們的教學是不是還要教條式地去「創設情境，組織合作討論」呢？當然不需要。用HPM的理念來處理「對頂角相等」定理的教學，關節點在於「這樣明顯正確的知識究竟要不要證明？為什麼古希臘人認為要證明，中國古代數學則根本沒有這個命題呢？思考這一問題，就會樹立起對古希臘偉大理性文明的敬畏，觸發學生的一次心靈震撼。由此開始學習平面幾何，HPM將帶領學生一步步地理解徐光啟對《幾何原本》的那段深刻的評價。
HPM在現代中國，還是一塊尚未充分開發的沃土。記得1998年，我曾以ICMI執行委員的身份參加了在馬賽舉行的一次HPM的特別年會，由於那時的中國數學教育界和數學史界，還沒有精力顧及於此，我是大陸去參加的唯一中國人。會後出版的那本著名文集，多少留下了一點中國的痕跡。會後，我就再也沒有參加HPM 的活動了。直到汪曉勤來到上海，HPM 活動才如火如荼地開展起來。2014年在哥本哈根舉行的HPM會議上，中國大陸的學者非常活躍，和我1998年的形單影隻的情形已經不可同日而語。汪曉勤教授的這部著作，正是這一過程的總結。「風正一帆懸」。我們希望，HPM 會在未來的中國數學教育中有一個更大的發展，以至成為繁榮數學文化的一種教學常態。
最後，我想趁此機會，談談上海灘數學史研究的一些歷史狀況。
我國的數學史研究，早先是李儼、錢寶琮兩位前輩。分別在北方和南方進行耕耘，但都不在上海。1950年代以來，北京中科院是大本營，北京師大則有白尚恕先生。北方的數學史重鎮還有遼寧師大的梁宗巨先生，內蒙師大的李迪先生，以及西北大學的李繼閔先生。南方的杭州，則有沈康身先生獨當一面。至於上海，除了零星的工作之外，簡直是數學史的一片沙漠。上世紀80年代，我作為「票友」想參與一點數學史研究，幾乎無門可入。和我類似的還有上海師大的袁小明教授，也是半路出家的業餘作者。在新世紀到來的時候，情況突變。1999年汪曉勤從中科院自然科學是研究所獲得博士學位後進入華東師範大學，這是「科班出身」的專業數學史學者第一次來到上海工作。接著，2001年紀志剛來到上海交通大學。此後徐澤林應聘於東華大學。王幼軍執教於上海師範大學。一時間上海的數學史研究呈現井噴式的發展。最近，聽說復旦大學要引進一名法國的數學史研究方向的博士，上海的數學史研究隊伍益發壯大了。
大約在十年前，紀志剛和汪曉勤來看我，我說我已經老了，「票友」只能玩到這個樣子。你們二位科班出身，能不能創立「海派」數學史研究呢？現在他們二位長袖善舞，成果迭出，已經是一個方面的領軍人物了。他們二位，包括徐澤林、王幼軍等的工作，是否能看成「海派」，尚需公論。依我看，汪曉勤的這本HPM，大概有一點「海派」的味道了。
拉雜寫來，主旨是為了祝賀汪曉勤的著作出版，也為中國大陸的HPM研究吶喊助威。應作者之約，權以這點文字為序。
本文摘編自汪曉勤著《HPM：數學史與數學教育》一書