•教學背景
模型思想和應用意識主要是指有意識地利用數學概念、原理和方法解決實際問題；根據具體問題，抽象出數學問題，將問題中的數量關係、位置關係和變化規律用方程（組）、不等式、函數、幾何圖形、統計圖表等進行表示，求出並檢驗結果，驗證模型的合理性。
有效滲透數學模型思想，能夠幫助學生積澱從現實問題中抽象出數學本質的過程性經驗，讓學生體驗數學模型的建立過程，重視模型的應用，提高學生解決實際問題的能力和創新能力。本節課為複習課， 學生已經在初二下學期和初三上學期學習了一次函數、二次函數、反比例函數，對於函數的研究具備一定經驗，會應用方程模型、不等式模型解決簡單的實際問題，具有初步的模型意識。
•教學實錄
環節1：情境創設
內容：視頻資源學習
師：請大家自行觀看已經下載的3個小視頻，並談一談自己的感受……誰願意分享一下？
生1：視頻中都是我們日常生活中的常見問題。
生2：裡面都蘊含了數學知識。
生3：數學在日常生活中有許多應用。
師：大家總結得非常棒！我們的數學學科本就源自數千年前人們的生產實踐，自古以來就與人們的日常生活密不可分。今天，數學的應用更是深入到社會的方方面面。這節課我們一起利用所學的數學知識解決實際問題，並總結方法和經驗，現在請同學們打開學案。
環節2：自我構建（1）：我來當老闆
例1：已知某展板製作商生產了一種成本為20元/個的小展板，經過調查，銷售單價和展板的每天銷售量之間滿足表1的關係。
問題解決（1）：當銷售單價定為多少時，每天獲得的總利潤最大，最大利潤是多少？問題解決（2）：若市場規定此種小展板的銷售單價不能超過40元，則銷售單價定為多少時，每天獲得的總利潤最大，最大利潤為多少？問題解決（3）：若希望該展板每天的銷售利潤不低於5000元，試確定銷售單價的範圍。
師：假如你是展板製作商，請同學們對例1的第（1）問進行分析，通過對此實際問題的思考，你有什麼樣的想法和解決思路？
生1：這道題問的是銷售利潤以及對應的銷售單價，所以可以求這兩個量之間的關係。
生2：我們可以藉助「函數」知識來解決。
師：非常好！你是怎麼想到「函數」的呢？
生2：因為我看到了題目中的「銷售單價」和「每天的銷售量」是兩個變量，而「銷售利潤」可以用這兩個量表示，因此想到了我們之前學過的「二次函數」。
師：請大家根據這種思路嘗試解決第（1）問，並在組內進行分享，請這位同學進行板書。
生2：首先我們根據問題，設銷售單價為x元，銷售利潤為y元。根據表格中的數據，我們可以求出每天的銷售量與銷售單價x之間的函數關係式為a=-10x+800，則銷售利潤y=(x-20)(-10x+800)=-10x2+1000x-16000，我們可以發現這是一個二次函數，則可以利用「求二次函數最大值」的知識來求「銷售利潤的最大值」，第（1）問就解決了。
師：講解得非常有條理，誰還有什麼補充嗎？
生3：我們在求每天的銷售量與銷售單價x之間的函數關係式的時候，要先判斷函數類型，再設解析式。
師：非常棒！那麼老師的問題來了，大家有什麼樣的方法判斷一組數據所滿足的函數類型？
生1：描點作圖是一條直線，所以滿足一次函數關係。
生4：觀察數據特點是線性增長的，所以猜想它們滿足一次函數關係。
師：特別好！還有其他補充嗎？
生3：我們在求出函數關係式之後，還需要關注自變量的取值範圍，因為這是實際問題。
師：提醒得非常關鍵。這樣的話，我們這個解決問題的過程才完整。下面，請大家繼續思考第（2）問和第（3）問。
生5：第（2）問規定了銷售單價不能超過40元，仍然求總利潤的最大值，相當於求當20 生6：第（3）問要求每天的銷售利潤不低於5000元，就相當於求當y≥5000時，x的取值範圍。我們可以先求當y=5000時所對應的x值，再結合圖像確定x的取值範圍。 環節3：課堂小結 師：我們一起總結一下「利用函數模型解決實際問題」的一般步驟。 生1：當我們遇到的實際問題涉及兩個變量之間的關係時，可以考慮構造函數模型進行解決。 生2：首先需要判斷函數類型，接下來設函數解析式，利用待定係數法求出函數的解析式，我們就可以藉助函數的圖像和性質來進行問題解決了。 環節4：自我構建（2）：我來當交警 例2：行駛中的汽車，在剎車之後由於慣性的作用，還要繼續向前滑行一段距離才能停下來，這段距離稱為「剎車距離」。為了測定某種型號汽車的剎車性能（根據規定：車速不超過140千米/小時），對這種汽車進行測試，測得數據見表2。 問題解決（1）：若小王駕駛該型號的汽車剎車時速為70千米/小時，請你估計他的剎車距離為 ，估計理由為 。 問題解決（2）：已知該型號的汽車在國道上發生了一次交通事故，現場測得的剎車距離約為44米，請你判斷事故發生時，該汽車是否超速行駛？請進行合理的解釋。 師：如果你是交警，請根據在例1中收穫的經驗，嘗試完成例2的分析和解決辦法。 生1：第（1）問可以根據表格中的數據變化趨勢進行估計，分享估計的結果和理由。 生2：第（1）問也可以求出剎車距離與剎車時速之間的函數關係式，然後再進行求解，分享估計的結果和理由。 師：很好。類似於第（1）問這樣的問題，我們可以直接根據數據的變化趨勢進行合理預測，考查我們數據分析的觀念。那麼第（2）問呢？ 生3：由於第（2）問直接從表格中的數據進行推斷比較困難，所以我們可以藉助函數模型進行求解。 生4：通過描點作圖，發現兩個變量近似滿足二次函數關係，我們可以藉助二次函數的知識進行解決和判斷。 師：通過同學們的分析，能夠看到大家已經基本掌握了「利用函數模型解決實際問題」的一般步驟。下面請大家思考：題中給出的這兩個變量一定是滿足我們所求的函數關係嗎？我們求出的結果是精確的嗎？ 生5：兩個變量所滿足的函數關係不一定是唯一的，我們給出的函數關係應該是一種合理的猜想。 師：非常好！我們可以體會到「近似」與「精確」的相對統一。另外，在一些問題中，我們還需要將建立的模型得出的結果進行驗證和取捨。 ［分析］環節4屬於方法的驗證。通過對例1的充分思考、交流，提出了研究問題的方法，利用例2來驗證這種方法的科學性；通過例1和例2兩種不同函數模型的建立，更深入地理解「函數」的本質；通過例2對這種建模方式進行更深入的探討，感受「近似」與「精確」的相對統一。 環節5：思維拓展：我是節約小能手 例3…… 師：請同學們閱讀例3給出的材料，並分析與例1、例2的異同…… 環節6：課堂總結 師：請同學們首先完成課堂反饋小測，然後打開電腦，進入UMU平臺，填寫本節課的學習收穫和總結。 反饋小測：當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓P（單位：kPa）與氣體體積V（單位：m3）的關係如表3所示。 請判斷當P=6kPa時，V= 。 UMU平臺反饋：我們通過這節課的學習，對解決實際問題有什麼樣的收穫？ ［分析］讓學生自己總結一節課的收穫，真正體現出學生是學習的主體，同時也讓教師對本節課的教學進行反思。另外，學生可以通過UMU平臺看到其他人的總結，相互學習。 •教學反思 縱觀近兩年北京市中考，數學有幾大特點：以學習過程為載體，考查解決實際問題過程中對所學知識、方法的理解和應用，對數學思想的感悟與認知；體現「問題」意識，將發現問題、提出問題能力的考查與分析、解決問題能力並重，從而將「學數學」與「用數學」緊密結合在一起。 本節課是初三年級的一節專題複習課，旨在引導學生用函數模型解決實際問題。因此教學設計非常貼近實際生活，如利潤問題、交通問題。在教學方面主要採用啟發引導、分享交流的形式，並將「1對1學習技術」融合到課堂教學環節中，提升了課堂效率。 本節課基本達成了預設的目標，學生們體會並熟悉了這類問題的解題思路，但也有一些不足，比如教學內容偏多，學生獨立思考時間較少；反饋環節倉促，學生未能充分總結和分享收穫等。隨後的教學中，這些問題還需要進一步調整改進，更大限度地體現學生主體，讓課堂在新技術助力下更開放、更高效。 （作者單位系中國人民大學附屬中學西山學校） 《中國教師報》2019年03月06日第5版