圓柱體側面展開的最短路徑——螞蟻行程問題

2020-12-13 李老師數學園地
圓柱體側面展開的最短路徑

模型分析:

上圖為無底的圓柱體側面展開圖.如果螞蟻從點A沿圓柱表面爬行一周，到點B的最短路徑就是展開圖 BAA′B′ 中AB' 的長度,AB'=√(AA'+A'B′),做此類題目的關鍵就是, 正確展開立體圖形, 利用「兩點之間線段最短」或「兩邊之和 大於第三邊」準確找出最短路徑。

例題:

如圖1,有一個圖柱形玻璃杯,高為12cm,底面周長為18cm, 在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜, 此時一隻螞蟻正好在杯外壁, 離杯上沿 4cm與蜂蜜相對的點A處,則螞蟻到蜂蜜的最短路線長為多少？

圖1

分析:化曲為直,即將圓柱側面適當展開成平面圖形,再結合軸對稱的知識求解.

解:如圖2, 作CD⊥FA於點D, 作點A關於EF的對稱點A』,連接A'C,與EF交於點B,則從點A到點B到點C為最短路線.

圖2

由題意知DC=9cm,FD=8cm,FA『=4cm,在 RtΔA'DC中,

A'C=A'D+DC=(FA'+FD)+DC=(4+8)+9=225=15,故

A'C=15cm.

因為AB+BC=A'B+BC=AC,所以最短路線長為15cm.

答:螞蟻到蜂蜜的最短路線長為15cm.

點評:如果把本題的條件「在杯內離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜」,改成「在杯外壁離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜」,而其它的條件不變.朋友們想一想,那麼這道題又應該怎麼做呢？

例題2.

我國古代有這樣一道數學問題:「枯木一根直立地,高二丈周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達其頂,問葛藤之長几何?」題意是:如圖3,把枯木看作一個圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長為3尺,有葛藤自點A處纏繞而上,繞五周後其末端恰好到達點B處.則問題中葛藤的最短長度是多少尺？

圖3

分析:圓柱沿AB側面展開如圖4所示,枯木的底面周長為3尺,繞5圈底面周長AC就變成了3×5=15尺,高AB為20尺,求出BC的長就是枯藤的最短長度.

圖4

解: 把 圓 柱 沿AB展開側面,如圖4所示,在Rt△BAC中,AB=20尺,AC=3×5=15尺,

BC=√(20+15)=25(尺),即

問題中葛藤的最短長度是25尺.

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