計算y1=1/x,y2=x與x=e圍成的面積

2021-01-03 09:20:02　來源: 楚鄂新阿

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主要內容：

　　本文通過定積分知識，分別以微元dx、dy計算曲線y1=1/x與直線y2=x、x=e圍成的面積的主要步驟過程。

方法一：微元dx計算區域面積

　　此時畫出曲線y1=1/x與直線y2=x、x=e圍成的區域示意圖，先求曲線y1與直線y2的交點，即：

　　1/x=x⇒x^2=1,取正數x1=1。

　　此時面積定積分表示為：

　　S=∫[x1,x2](y2-y1)dx

　　=∫[1,e](x-1/x)dx

　　=1/2*x^2-lnx[1,e]

　　=1/2*e^2-lne-1/2

　　=1/2*e^2-1-1/2

　　=1/2*e^2-3/2。

方法二：微元dy計算區域面積

　　此時畫出曲線y1=1/x與直線y2=x、x=e^1圍成的區域示意圖，對以dy為微元計算面積時，總面積由三角形面積ABD和曲邊形ABC的面積和,即S=Sabc+Sabc。

　　同理聯立曲線y1與直線y2，1/x=x，

　　即x^2=1,取正數x1=1。則：

　　AB=x2-x1=e-1,並對應求得縱坐標得：

　　y1=1/1=1,y2=2，則：

　　BD=y2-y1=e-1，此時三角形ABC的面積為：

　　Sabc=(1/2)AB*BD

　　=(1/2)(e-1)*(e-1)

　　=(1/2)(1-2e+e^2).

　　當x=e時，y3=1/e,則：

　　Sabc=∫[y3,y1](e-1/y)dy

　　=(ey-lny)[1/e,1]

　　=e-2,

　　此時S有：

　　S=Sabc+Sabc

　　=(1/2)(1-2e+e^2)+e-2

　　

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