一道帶研究模式的奧數題介紹及解答（彭彤彬）

一道帶研究模式的奧數題介紹及解答（彭彤彬）

一、題目：

把一個凸多邊形沿著幾條直線（在多邊形內部無交點）剪開，分成若干個多邊形。分割後的多邊形的邊數和比原多邊形邊數多13條，內角和是原多邊形內角和的1.3倍。

求原多邊形的邊數與把原多邊形分割成的多邊形個數。

二、推薦理由：

這是一道上好的奧數題，理由是它的解答，帶有一定研究性課題模式，這對培養學生的研究性學能力很重要，從而可為學生以後深入研究數學問題，作指引和借鑑。

學生數學學習，側重點是什麼？一在學紮實的基礎知識，二在培養學生研究能力，為以後成為尖端數學研究人員作好鋪墊。

本題作用，就不在於考你的數學知識的豐厚，可以說，用的知識太少了，多邊形內角和公式，再就是解一元一次方程，都是初中知識。

但若你沒有良好的數學思維模式和能力，你就找不到關鍵點，你就無從下手解決這樣的問題。

但研究未知問題，重要的是找突破口，抓住關鍵常識性結論，這些結論沒學過，但經過研究探討易得，並用於解決你的問題時，很有用有效。

這一種數學思維模式，當然是走向研究性學習的坦途，當然是你想成為研究人員不可少的步驟。

這就是這是一道上好的奧數題的理由。

三、答案：

原多邊形邊數為12，有兩種分割方法，但將原多邊形都分割成6個多邊形。

四、解答過程：

先研究所有可能的基本情況，即一條分割線將一個多邊形分成兩個多邊形時，邊數與內角和的變化的所有情況。

通過思考，我們可得下列三個基本情況的相關結論，要記住，後面要引用的。

①當分割線過已知多邊形的兩個頂點時，分割後的多邊形比原多邊形，邊數增加2，內角和不變。見下圖：

②當分割線過已知多邊形的一個頂點，另一端與已知多邊形的一邊相交但不過這邊的端點時，分割後的多邊形比原多邊形，邊數增加3，內角和增加180度。見下圖：

③當分割線不過已知多邊形的任一個頂點，即它與已知多邊形的兩邊相交但不過這兩邊的端點時，分割後的多邊形比原多邊形，邊數增加4，內角和增加2×180度=360度。見下圖：

有了這三個基本結論後，我們開始解本奧數題了。

我們看，分割後邊數增加13，所以邊數增加值中只能出現一個3，或3個3。

如果有2個或4個3的話，餘下的邊數和是奇數，不能拆成2與4的和，那就不能完成滿足條件的分割了。

當分割後的增加邊數中只有一個3，即只有一條分割線過原多邊形的一個頂點，其他的分割線要麼過原多邊形的兩個頂點，要麼一個頂點也不過時，13=3+4+4+2=3+4+2+2+2=3+2+2+2+2+2，有且只有這三種情況。

然後在這三種情況下，設原多邊形的邊數為n，再考察內角和增加的量可列出方程，只有一種情況有大於等於3的正整數解，為n=12。如下圖：

由於只有13=3+4+2+2+2這種情況有解n=12，可見有五條分割線，將原多邊形分割成了六個多邊形。

其中五條分割線為，一條過一個頂點，一條一個頂點也不過，另三條每條過兩個頂點。

見下圖：

當分割後的增加邊數中有三個3，即有三條分割線過原多邊形的一個頂點，其他的分割線要麼過原多邊形的兩個頂點，要麼一個頂點也不過時，13=3++3+3+4=3+3+3+2+2，有兩種情況。

再對這兩種情況，考察分割後增加的內角和，可列出兩個方程，得一個滿足條件的解n=12。

見下圖：

n=12時，13=3+3+3+2+2，所以分割線有五條，其中有三條只過一個頂點，另兩條每條過兩個頂點，最後將原多邊形分成6個多邊形。

見下圖：

綜上知，所求的解為12，6。