三角學一題多解:從不同角度認識解三角形

2021-02-18 海壁數學

今天有個小朋友問我一道題，我看到角平分線，想都沒想就給他用角平分線定理外加正餘弦定理講了一遍，但是，我總是覺得這樣的方法太難，難道真的沒有別的更簡單的方法嗎？這回小朋友沒有問我，我得問自己了。於是乎，我真的找到另外三種解法，最後一種解法簡直簡單到我自己都想不到！太神奇了！

原題：在△ABC中，∠BAC=120°，AD為∠BAC的角平分線，AB=2AC,AD=100,求BC。

（大家可以先想一下）

首先，這個題目有角平分線的解三角形題目，我想到的第一種方法，就是運用角平分線定理，學生不一定知道角平分定理，故而普及一下，順便把過程寫出來。

結果是算出來了，但是挺複雜的，雖然計算過程很簡單。

在這個基礎上，又有新的解法，當然整體上跟上面解法一樣，而且計算更難一步了。

這兩種解法是通法，也就是不管頂角是多少度，其實都可以解出來，顯然是沒有充分運用題目給的120°這個條件，於是，我打算從120°這個條件出發，給出第三種解法。

這種解法充分運用了題目給出的120°這個條件，結合等邊三角形的性質，構造了等邊三角形，並因此更加簡單的將邊求解出來，到此為止，這個解法其實已經非常不錯了，但是，還是不夠，需要改進一下。於是，有解法四。

解法四的思路其實很簡單，根據三角形面積相等法，這或許才是題目的本意，而我們前面三種解法都是誤解了題目的意思，把題目想得複雜了，其解答過程如下。

解題過程我們都是追求簡單化，這個題目算是三角學中常見的題目，其解題過程中運用的思維方式、解題思路等都是常規的思路，所以，也算是比較好的例題，希望能給您一些借鑑。

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