高中函數圖像及其平移與變換

基本初等函數的圖像

1.一次函數

性質：一次函數圖像是直線，當k>0時，函數單調遞增；當k

2.二次函數

性質：二次函數圖像是拋物線，a決定函數圖像的開口方向，判別式b^2-4ac決定了函數圖像與x軸的交點，對稱軸兩邊函數的單調性不同。

3.反比例函數

性質：反比例函數圖像是雙曲線，當k>0時，圖像經過一、三象限；當k

4.指數函數

當0

不同底的指數函數圖像在同一個坐標系中時，一般可以做直線x=1，與各函數的交點，根據交點縱坐標的大小，即可比較底數的大小。

5.對數函數

當底數不同時，對數函數的圖像是這樣變換的

6.對勾函數

對於函數y=x+k/x，當k>0時，才是對勾函數，可以利用均值定理找到函數的最值。

7.冪函數

性質：

先看第一象限，即x>0時，當a>1時，函數越增越快；當0

8.正弦函數、餘弦函數、正切函數

函數圖像的變換

1

平移變換

（1）水平平移：函數 y = f（x + a）的圖像可以把函數 y = f（x）的圖像沿x軸方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜個單位即可得到；

（2）豎直平移：函數 y = f（x） + a 的圖像可以把函數 y = f（x）的圖像沿x軸方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移｜a｜個單位即可得到。

2

對稱變換

（1）函數 y = f（-x）的圖像可以將函數 y = f（x）的圖像關於y軸對稱即可得到；

（2）函數 y = - f（x）的圖像可以將函數 y = f（x）的圖像關於x軸對稱即可得到；

（3）函數 y = - f（-x）的圖像可以將函數 y = f（x）的圖像關於原點對稱即可得到；

3

翻折變換

（1）函數 y =｜ f（x）｜的圖像可以將函數 y = f（x）的圖像的x軸下方部分沿x軸翻折到x軸上方，去掉x軸下方部分，並保留 y = f（x）的x軸上方部分即可得到；

（2）函數 y = f（｜x｜）的圖像可以將函數 y = f（x）的圖像的右邊沿y軸翻折到y軸左邊替代原y軸左邊部分並保留 y = f（x）在y軸右邊部分即可得到。

4

伸縮變換

（1）函數 y = a f（x）（a＞0）的圖像可以將函數 y = f（x）的圖像中的每一點橫坐標不變，縱坐標伸長（a＞1）或壓縮（0＜a＜1）為原來的a倍得到；

（2）函數 y = f（ax）（a＞0）的圖像可以將函數 y = f（x）的圖像中的每一點縱坐標不變，橫坐標壓縮（a＞1）或伸長（0＜a＜1）為原來的1/a倍得到；

注意：對於函數圖像的變換，有的時候，看到解析式，可能會有兩種以上的變換，尤其是針對x軸上的，那麼此時，一定要根據上面的規則，判斷好順序，否則順序錯了，可能就沒辦法經過變換得到了！

小試牛刀練一練

匠匠已經總結了基本函數的圖像以及圖像變換的一些步驟，下面我們就來練一練！

練一練：畫出函數 y = ln|2-x|的圖像

通過研究這個函數解析式，我們可以知道此函數是由基本初等函數 y = lnx通過變換而來，那麼這個函數經過了幾步變換呢？變換的順序又是如何？下面我們一起來看一看！

通過解析式x上附加的東西，我們會發現，會有對稱變換，x前面加了負號，還有翻折變換，x上面還有絕對值，還有平移變換，前面加了一個2，既然有3種變換，那麼順序如何呢？

牢記住一點：針對x軸上的變換，那就一定要看x這個符號有什麼變化。

所以，我們可以得出：第一步，翻折變換；第二步，對稱變換；第三步，平移變換。

有的同學說，第一步是對稱變換，也就是先在x上加負號，但是接下來的話，再進行翻折變換，就相當於在-x上加絕對值了，而這個並不是我們學過的規律，所以後面就無法進行變換了，這樣也就錯了。同學們一定要切記哈！

當然，如果同學們能對這四種變換很熟悉的話，那就可以先對解析式進行變形，化為 y = ln|x-2|，這樣只經過兩步變換即可了！

● 第一步：先畫出函數 y = lnx的圖像

● 第二步：進行翻折變換，得到函數 y = ln|x|的圖像

● 第三步：進行對稱變換，得到函數 y = ln|-x|的圖像

● 第四步：進行對稱變換，得到函數 y = ln|2-x|的圖像

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