一、絕對值的意義:
幾何意義:一般地,數軸上表示數a的點到原點的距離叫做數a的絕對值,記作∣a∣.
代數意義:
(1)正數的絕對值是它本身;
(2)負數的絕對值是它的相反數;
(3)零的絕對值是零.
也可以寫成:
說明:(1)∣a∣≥0,即∣a∣是一個非負數;
(2)∣a∣概念中蘊含著分類討論思想.
二、專題訓練
專題一:∣x∣=6,則x=
例1.∣x-3∣=5,求x.
解:由∣x-3∣=5
得:x-3=5或x-3=-5
所以x=8或-2
練習:∣x+2∣=8,求x.
例2.已知∣a∣=3,∣b∣=6,且a>b,求a+b.
解:由∣a∣=3,得a=3或-3
由∣b∣=6,得b=6或-6
又因為a>b,
所以a=3,b=-6或a=-3,b=-6
所以a+b=3-6=-3或a+b=-3-6=-9.
練習:1.已知∣a∣=3,∣b∣=6,且ab>0,求a+b.
2.已知∣a∣=2,∣b∣=3,且∣a-b∣=b-a,求2a-b.
3.已知∣a∣=2,∣b∣=3,且ab<0,∣a-b∣=b-a,求2a-b+1.
4.已知∣a∣=7,∣b∣=4,且∣a+b∣=∣a∣+∣b∣,求a-2b.
練習提示:
1.答案:9或-9.
提示:ab>0,說明a、b同號,有"同正"與"同負"兩種情況.
2.答案:1或-7.
提示:∣a-b∣=b-a,說明∣a-b∣等於它的相反數,所以a-b≤0,所以有a=2,b=3或a=-2,b=3兩種情況.
3.答案:-6.
提示:這是在第2題的基礎上加了條件ab<0,即a、b異號,所以a=-2,b=3.
4.答案:-1或1.
提示:∣a+b∣=∣a∣+∣b∣,由有理數的加法法則可知,這是"同號相加".即a、b同號.所以有a=7,b=4或a=-7,b=-4兩種情況.
專題二:若∣a∣=a,則a是 數;若∣a∣=-a,則a是 數.及絕對值代數式的化簡.
答:若∣a∣=a,則a是 非負 數,即a≥0；若∣a∣=-a,則a是 非正 數即a≤0.
例1:已知|x−3|=x−3|x−3|=x−3，則xx的取值範圍是______．
解：∵|x−3|=x−3∵|x−3|=x−3，
∴x−3⩾0∴x−3⩾0，
∴x⩾3∴x⩾3，
故答案為：x⩾3x⩾3．
例2.已知a，b ，cc在數軸上的位置如圖所示，且|a|=|b||a|=|b|，化簡：|a|−|b|−|c|+|a+b||a|−|b|−|c|+|a+b|．
解：由題意得c<a<0<bc<a<0<b，|a|=|b||a|=|b|，
∴a+b=0∴a+b=0，
原式=−a−b+c+0=−a−b+c+0
=−a−b+c=−a−b+c
=−(a+b)+c=−(a+b)+c
=c=c．
化簡含絕對值的代數式時,首先應判斷絕對值符號內部的代數式是"正數"、"零"、"負數",進一步去掉絕對值的符號,再化簡.
練習:
1.有理數aa，bb，cc在數軸上的對應點位置如圖：
(1)用「 < 」連接0，a，b，c四個數；
(2)化簡：|a+b|+|b-c|-|a+c|-|a-b|
2.數aa，bb，cc 在數軸上的位置如圖所示，則|b|−|c−a|−|c+b|=|b|−|c−a|−|c+b|= (( ))
A.-a B.2c-a C.2b+2c-b D.-2b+a
練習答案提示:
解：(1)(1)由題意可得，
c<a<0<bc<a<0<b；
(2)∵c<a<0<b(2)∵c<a<0<b，|a|<|b||a|<|b|
∴|a+b|+|b−c|−|a+c|−|a−b|∴|a+b|+|b−c|−|a+c|−|a−b|
=a+b+b−c+a+c+a−b=a+b+b−c+a+c+a−b
=3a+b=3a+b．
【分析】
本題考查了數軸以及絕對值的性質，看懂數軸掌握絕對值的性質是解題關鍵..
由有理數aa、bb、cc在數軸上的位置，可得b<0b<0，c−a<0c−a<0，c+b<0c+b<0，再根據絕對值的性質解答即可．
【解答】
解：由有理數aa、bb、cc在數軸上的位置，得：
b<0b<0，c−a<0c−a<0，c+b<0c+b<0
∴|b|−|c−a|−|c+b|∴|b|−|c−a|−|c+b|
=−b−(a−c)−(−c−b)=−b−(a−c)−(−c−b)
=−b−a+c+c+b=−b−a+c+c+b
=2c−a=2c−a．
故選B．
專題三:絕對值的幾何意義:
∣a∣=2,表示數a的點到原點距離等於2個單位長.所以a=2或-2.
∣a-1∣=2,表示數a的點到1表示的點的距離等於2個單位長.所以a=3或-1.
∣a+1∣=2,表示數a的點到-1表示的點的距離等於2個單位長.所以a=-3或1.
∣a-1∣+∣a+1∣,表示數a的點到1和-1表示的點的距離之和.
例1.如果a是-1和1之間的數,∣a-1∣+∣a+1∣的值是 .
方法一:
當-1≤a≤1時,a-1≤0,a+1≥0
∣a-1∣+∣a+1∣=-(a-1)+(a+1)=2
方法二:∣a-1∣+∣a+1∣表示數a的點到1和-1表示的點的距離之和.
如下圖,點A、C分別表示數-1和1,點B表示數a,當點B位於AC之間時,BA+BC=AC=2,所以,這時∣a-1∣+∣a+1∣=2.
練習:
1.結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：
(1)(1)數軸上表示44 和11的兩點之間的距離是______；表示−3−3和22兩點之間的距離是______；一般地，數軸上表示數mm和數nn的兩點之間的距離等於|m−n||m−n|．
(2)(2)如果|x+1|=3|x+1|=3，那麼x=x=______；
(3)(3)若|a−3|=2|a−3|=2，|b+2|=1|b+2|=1，且數aa、bb在數軸上表示的數分別是點AA、點BB，則AA，BB兩點間的最大距離是______．
(4)(4)若數軸上表示數aa的點位於−4−4 與22之間，則|a+4|+|a−2|=|a+4|+|a−2|=______．
練習答案：
(1)(1)數軸上表示44 和11的兩點之間的距離是4−1=34−1=3，表示−3−3和22兩點之間的距離是2−(−3)=52−(−3)=5，
故答案為：33，55；
(2)∵|x+1|=3(2)∵|x+1|=3
∴x+1=±3∴x+1=±3，
解得，x=2x=2或x=−4x=−4，
故答案為：−4−4或22；
(3)∵|a−3|=2(3)∵|a−3|=2，|b+2|=1|b+2|=1，
∴a=5∴a=5或a=1a=1，b=−3b=−3或b=−1b=−1，
∴∴當AA為55，BB為−3−3時，AA，BB兩點間的距離最大，最大距離是5−(−3)=85−(−3)=8，
故答案為：88；
(4)∵(4)∵數軸上表示數aa的點位於−4−4 與22之間，
∴−4<a<2∴−4<a<2，
∴|a+4|+|a−2|∴|a+4|+|a−2|
=a+4+2−a=a+4+2−a
=6=6，
故答案為：66．
(1)(1)根據題意可以求得數軸上表示44 和11的兩點之間的距離和表示−3−3和22兩點之間的距離；
(2)(2)根據|x+1|=3|x+1|=3，可以求得xx的值，本題得以解決；
(3)(3)根據題意可以求得aa、bb的值，從而可以求得AA，BB兩點間的最大距離；
(4)(4)根據數軸上表示數aa的點位於−4−4 與22之間，可以求得|a+4|+|a−2||a+4|+|a−2|的值．
2.在學習絕對值後，我們知道，|a||a|表示數aa在數軸上的對應點與原點的距離．如：|5||5|表示55在數軸上的對應點到原點的距離．而|5|=|5−0||5|=|5−0|，即|5−0||5−0|表示55、00在數軸上對應的兩點之間的距離．類似的，有：|5−3||5−3|表示55、33在數軸上對應的兩點之間的距離；|5+3|=|5−(−3)||5+3|=|5−(−3)|，所以|5+3||5+3|表示55、−3−3在數軸上對應的兩點之間的距離．一般地，點AA、BB在數軸上分別表示有理數aa、bb，那麼AA、BB之間的距離可表示為|a−b|.∖|a−b|.∖請根據絕對值的意義並結合數軸解答下列問題：
(1)(1)數軸上表示22和33的兩點之間的距離是____；數軸上PP、QQ兩點的距離為33，點PP表示的數是22，則點QQ表示的數是____．
(2)(2)點AA、BB、CC在數軸上分別表示有理數xx、−3−3、11，那麼AA到BB的距離與AA到CC的距離之和可表示為____((用含絕對值的式子表示))；滿足|x−3|+|x+2|=7|x−3|+|x+2|=7的xx的值為____．
(3)(3)試求|x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−100||x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−100|的最小值．
練習答案：(1) 1(1)1 −1−1或55 ；
(2)|x+3|+|x−1| -3或4
(3)|x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−100|=(|x−1|+|x−100|)+(|x−2|+|x−99|)+…+(|x−50|+|x−51|)|x−1|+|x−100|(3)|x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−100|=(|x−1|+|x−100|)+(|x−2|+|x−99|)+…+(|x−50|+|x−51|)|x−1|+|x−100|表示數軸上數xx的對應點到表示11、100100兩點的距離之和，
當1⩽x⩽1001⩽x⩽100時，|x−1|+|x−100||x−1|+|x−100|有最小值為|100−1|=99|100−1|=99；|x−2|+|x−99||x−2|+|x−99|表示數軸上數xx的對應點到表示22、9999兩點的距離之和，
當2⩽x⩽992⩽x⩽99時，|x−2|+|x−99||x−2|+|x−99|有最小值為|99−2|=97|99−2|=97；
…|x−50|+|x−51|…|x−50|+|x−51|表示數軸上數xx的對應點到表示5050、5151兩點的距離之和，
當50⩽x⩽5150⩽x⩽51時，|x−50|+|x−51||x−50|+|x−51|有最小值為|51−50|=1|51−50|=1．
所以，當50⩽x⩽5150⩽x⩽51時，|x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−100||x−1|+|x−2|+|x−3|+…+|x−100|有最小值為：99+97+95+…+3+1=(99+1)+(97+3)+…+(51+49)=100×25=250099+97+95+…+3+1=(99+1)+(97+3)+…+(51+49)=100×25=2500．
專題四:
例1.如圖，點AA、BB、CC在數軸上表示的數分別為aa、bb、cc，且OA+OB=OCOA+OB=OC，則下列結論中：①abc<0abc<0；②a(b+c)>0a(b+c)>0；③a−c=ba−c=b；
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
【分析】
此題主要考查了數軸的特徵和應用，以及絕對值的含義和求法有關知識，根據圖示，可得c<a<0c<a<0，b>0b>0，|a|+|b|=|c||a|+|b|=|c|，據此逐項判定即可．
【解答】
解：∵c<a<0∵c<a<0，b>0b>0，
∴abc>0∴abc>0，
∴∴選項①不符合題意．
∵c<a<0∵c<a<0，b>0b>0，|a|+|b|=|c||a|+|b|=|c|，
∴b+c<0∴b+c<0，
∴a(b+c)>0∴a(b+c)>0，
∴∴選項②符合題意．
∵c<a<0∵c<a<0，b>0b>0，|a|+|b|=|c||a|+|b|=|c|，
∴−a+b=−c∴−a+b=−c，
∴a−c=b∴a−c=b，
∴∴選項③符合題意．
∴∴選項④不符合題意，
∴∴正確的個數有22個：②、③．
故選B．
專題訓練:
1.有理數aa，bb在數軸上對應的位置如圖所示，那麼下面代數式的值是( )
()
A.-1 B.0 C.1 D.2
解：根據數軸可知，
−1<a<0−1<a<0，0<b<10<b<1，|a|>|b||a|>|b|，
=1+1+1-1
=2
故選D．
先根據數軸求出−1<a<0−1<a<0，0<b<10<b<1，|a|>|b||a|>|b|，再去掉絕對值，然後根據分式的性質計算即可．
2.如果aa，bb都是不為0的有理數，則代數式
A.1 B.0 C.-3 D.-4
【分析】
本題主要考查了絕對值的定義及分類討論的思想．注意分類討論時要全面，要做到不重複不遺漏．要對aa，bb所有可能出現的不同情況進行分類討論，找出符合要求的取值，代入求值．
【解答】
解：對aa，bb的取值情況分類討論如下：
①當a，b都是正數時，
=1+1+1=3a|a|+|b|b−|ab|ab=1+1+1=3；
②當aa，bb都是負數時，
=−1−1−1=−3a|a|+|b|b−|ab|ab=−1−1−1=−3；
③當aa為負數，bb為正數時，
=−1+1−(−1)=−1+1+1=1a|a|+|b|b−|ab|ab=−1+1−(−1)=−1+1+1=1；
④當aa為正數，bb為負數時，
=1−1−(−1)=1−1+1=1a|a|+|b|b−|ab|ab=1−1−(−1)=1−1+1=1．
則代數式
的最小值是-3.
故選C．
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