專題:不等式解法、解決策略綜合版

專題：不等式解法、解決策略綜合版

2020-03-02 23:17

來源：新東方網編輯整理

作者：

• 新東方網
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　　解不等式的基本思想是根據不等式的基本性質，進行等價轉換，劃歸為一元一次不等式或一元二次不等式（組）來解。解不等式是一個同解變形的過程，常常運用分類討論、數形結合的思想方法，同時還應注意不等式與方程、函數及其他知識的聯繫.

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　點評：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　不等式的證明因題而異，技巧性強。基本方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、數學歸納法，此外，還有放縮法、構造法(如構造函數、方程、向量、複數、幾何、抽屜等模型、換元法、估計法、調整法、假設法、概率法、求導法、遞推法、待定係數法等.

　　不等式的證明，除掌握一些基本方法外，還要能嫻熟地運用著名不等式(如均值不等式、柯西不等式、排序不等式等)以及它們的各種變式。代數變形能力和計算能力是不等式證明的基礎。

　　1.分段討論法

　　

　　

　　點評：

　　    基於上題可以看出，劃分區間段的重要性，在區間段的劃分過程中，堅持做到「不重不漏」原則，求解每個區間上的不等式時要和區間取交集，最後的結果是要將每個區間段的結果取併集.

　　2.平方法

　　

　　

　　

　　點評:

　　

　　3.數形結合法

　　

　　

　　

　　

　　點評:

　　

　　

　　4.換元法

　　在解決絕對值不等式問題時，不等式常常會涉及複雜參數，與其他數學知識相類似，我們可以採用換元法進行討論，將複雜的參數問題轉化為簡單的不等式再進行求解，在此方法中，換元是解題成功的關鍵。

　　

　　

　　點評：

　　    換元法對結構較為複雜、變量較多、變量間關係不甚明了的不等式，則可適當引入新變量，通三角代換、過代換，簡化原有結構，實現某種變通，給證明的成功帶來新的轉機.常用的變量替換有：局部代換、整體代換等。常見的三角換元有：

　　

　　5.構造法

　　    對於含參數及絕對值的二次函數的最值問題，一般可以先考慮區間的端點及區間中點，然後藉助絕對值不等式，合理配湊，最終得到所求的最優解。

　　

　　

　　點評：

　　

　　

　　構造法針對欲證不等式的特點，通過觀察、類比，展開聯想，抓住知識間的橫向聯繫，構造出符合要求的數、式、函數、圖形等數學模型，通過轉化，達到證明的目的.構造法對思維的要求比較高，是具有一定創造性。

　　

　　

　　

　　

　　點評：

　　

　　6.反證法

　　

　　點評：

　　反證法證明的主要步驟是：

　　（1）第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；

　　（2）第二步，歸謬：將反設作為條件，並由此通過一系列的正確推理導出矛盾；

　　（3）第三步，結論：說明假設不成立，從而肯定原命題成立.

　　7.放縮法

　　

　　

　　點評：

　　

　　8.數學歸納法

　　

　　

　　

　　9.導數法

　　利用導數作為工具判斷函數的單調性，從而求出非基本初等函數的最值.

　　

　　

　　

　　

　　

　　解析：

　　

　　

　　

　　點評：

　　

　　10.抽屜原理法

　　

　　

　　

　　

　 

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