柯西不等式

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前面幾期講了最最基礎的排序不等式，並從排序不等式推導出了著名的也是最常用的平均不等式（算術-幾何平均不等式），本期我將按照大多數書中講不等式的順序，講一講柯西不等式。

有兩組實數：

那麼，第一組數各個元素平方和與第二組數各個元素平方和的乘積，大於等於兩組數對應元素乘積和的平方，即：

用求和符號簡化，就是

等號若且唯若

時成立（若bj=0時，認為aj=0，其中j=1, 2,  ··· , n）。

證明：我見過有大約七八種證法。今天只給出兩種比較簡單的證法。先講判別式證法。

若aj ( j=1, 2, ···, n)全都等於0，則柯西不等式顯然成立。下面假設aj ( j=1, 2, ···, n)不全等於0。考慮二次函數：

它的二次項係數肯定大於0，所以它的圖像是開口朝上的拋物線。因為對每個i，都有

所以，二次函數可以化為：

顯然，每個平方數都是大於等於0的，所以

這說明，這個二次函數的圖像要麼完全位於x軸的上方，要麼與x軸僅有一個交點。所以，二次三項式

的判別式一定小於等於0，即：

由此得到柯西不等式：

或

等號成立的情況不再具體證明了。

下面講第二種證法，作差比較法。這裡，為了降低難度，我用特殊情況來運作，讓您找到「感覺」。然後，那套精簡的和號「∑」進行推演也就不難得到。取n=3，於是，柯西不等式的左、右兩邊分別是：

注意上式中的彩色下畫線。下畫紅線的相等。下畫藍線的是「二次三項式」；下畫綠線或橙色線的也都是「二次三項式」。所以，左邊減去右邊的結果將是：

所以，

我們中學所學平面向量內積的概念，其實就是柯西不等式在n等於2時的特殊情況：

下面看一看如何從柯西不等式推導一些重要不等式。作變換：

得

這是一個重要的結論。直接用這個結論，我們可以證明一些特殊的不等式。下面就是一個例子。試證明：

證明   上式左邊變形為：

我們觀察下面這兩組數：

兩者對應元素是互為倒數的關係。於是，根據上面(1)式，得到：

而上式左邊第一個括號中三項之和等於1：

所以，

即

對例題之前的不等式(1)進行變形：

即算術平均值大於等於調和平均值。

在柯西不等式中，令bi=1。您可以想像一下，將產生什麼不等式？（答案在下面括號中）

（算術平均值≤平方平均值）