柯西在研究過程中發現的一個不等式，他是高等數學的重要內容，應用非常廣泛，如下內容摘自柯西的原著：《分析教程》
柯西當時就對該不等式給出了有史以來最嚴格的證明，既簡單又嚴禁，連當時的高斯都對此稱讚不已，如下就是柯西的證明
首先當項數n=2時，我們有
我們依次取項數n=4,n=8……n=2^m時，得到如下結果
以上的分析是n取幾何級數時的情況，即公比等於2時，如果項數n不是幾何級數，會是什麼樣式呢？柯西在此假設，比n大的最小整數是2^m, 且r=2^m-n，並在此令K
那麼對於n個A,B,C,D…….和r個K，我們就有
上式整理後就得到：