高考複習不等式專題訓練3.柯西不等式解析版

2021-12-17 曹老師的高中數學課

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有關柯西不等式的內容在高考大綱中是「了解」,但是了解並不意味不考,在2019年全國3不等式選講題目中就出現了柯西不等式的題目,此外柯西不等式還是江蘇選做題中常見題型,雖然每年都不難。

柯西不等式的二維形式相比於均值不等式來說更加簡單,因為它沒有類似於均值不等式拼湊所具有的技巧性,在目前考柯西不等式的試卷中,即便出現也很容易解出,此外,柯西不等式還是解決三元不等式最值的好幫手,在高一數學中有一類值域問題,即函數由兩個根式相加的形式組成,且滿足x的係數互為相反數,這種題目可用三角換元來解,但是用柯西不等式更為簡單,希望有關內容能引起學生重視,學不學在你,考不考不在你。

柯西不等式和均值不等式比較,它並不要求變量始終滿足正數;和均值不等式類似,利用柯西不等式求最值依舊要滿足特定的等式要求,使用柯西不等式時滿足「定」「等」即可。

區別於均值不等式,可以把柯西不等式記作:和有最大值,積有最小值,求最大值時需要補項,使得右側為定值即可。

點擊連結了解更多有關柯西不等式和的內容:【不等式選講專題】2.柯西不等式在證明和求最值中的應用

以上四題為利用柯西不等式求最大值,至於式子前補多少係數需要根據條件中的等式決定,如不確定係數可利用待定係數法設出係數,根據右側的定值來確定係數的值。

求最小值時建議全部轉化為平方的形式,這樣不容易忽略,無論用柯西不等式求最大值還是最小值,都必須確定出等式成立的條件和未知數各自的值,否則過程不完整會扣分,上述題目有些沒有寫出取等的條件。

柯西(Cauchy,Augustin Louis 1789-1857),出生於巴黎,他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員,在法國動蕩的政治漩渦中一直擔任公職。由於家庭的原因,柯西本人屬於擁護波旁王朝的正統派,是一位虔誠的天主教徒。並且在數學領域,有很高的建樹和造詣。很多數學的定理和公式也都以他的名字來稱呼,如柯西不等式柯西積分公式

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