微分幾何學習筆記:曲面幾何學

2022-01-05 學知園學習中心
微分幾何學習筆記：曲面幾何學

寫在前面：本文是一些結果的羅列，主要是為了後續做些準備工作， 文章中涉及一些幾何和測度的相關預備知識，讀者可以在下面的公眾號中找到


本節我們主要總結一些

切向量 組成在

逆度量定義為

我們能夠對具有緊支集的函數

這裡

其中

上式中，指標重複代表求和. 對於

(注意

其中Christoffel 符號

(角標

向量場

對於一個光滑向量場

這和前面的定義是相一致的.

設

因為

則 Weingarten 映射可定義為

我們稱Weingarten 映射的特徵值

我們可以很容易得到

在特殊情況下，比如，

這裡，

對於滿足

這裡

其中

表示在局部正交標架

和

此時，

Codazzi方程表明第二基本型的共變導數:

現在我們需要計算Laplace算子和第二基本型的平方範數

為了簡便, 我們在局部正交標架下計算.這樣，我們就可以只用下指標.由黎曼曲率張量的定義

我們現在開始計算

其中

由

這裡

下面我們推導單位法向量

且

從而在點

進一步，有

由Codazzi方程，

計算可得

因此，我們得到

這個等式經常稱之為Jacobi場方程.

曲面上函數和向量場的導數也可以通過從

對於

設

定義

這裡

其中

對於一個可微向量場

此處

或者

這和我們之前用內蘊方式的定義是一致的.

Laplace-Beltrami算子作用在

由等式

我們計算可得

其中

是

如果

(

由散度定理，對任意

這裡

如果函數

或者等價地

對於

如果

其中我們用到了

下面我們介紹 Coarea公式，我們在後面的學習中，會多次用到. 設

兩邊微分，則有

對幾乎所有的

我們考慮

由Sard定理，對幾乎所有的

相關焦點

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    高斯、黎曼及嘉當的微分幾何:微分幾何在歐拉(Euler) 及蒙日(Monge) 的手上固然已經有了很多的發展,但是真正決定性的結果則無疑的是在高斯(Gauss) 1827年的那篇「曲面概論」論文上建立的。
  • 規範場論與微分幾何
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