每一位熱愛孩子的家長
每一位聰明而上進的小盆友
都置頂了「玩轉初中數學」
【前導知識】
1、多邊形的內角和外角
【一般n邊形】
多邊形的內角和：(n-2)180°
多邊形的外角和：360°
【正n邊形】
正n邊形：每個外角(圖中∠2)=360°/n
邊數n，∠1，∠2，180°，360°的關係：
①∠1+∠2=180°
②∠2=360°/n
由①②得：
∠1=180°- 360°/n
（也可以根據n∠1=(n-2)180°推出）
2、多邊形的對角線
從n邊形的一個頂點可以引出(n-3)條對角線，把這個多邊形分成(n-2)個三角形，n邊形共有n(n-3)/2條對角線
【題型展示】——自己先做
題型1——求多邊形的邊數和角度
【例1】
（1）多邊形的外角和等於_______
（2）7邊形的內角和等於________
（3）一個多邊形的內角和為1260°，它是___邊形
（4）內角和是外角和的4倍，它是_____邊形
（5）一個正多邊形的一個外角為72°，它是____邊形
（6）正多邊形中，一個外角等於一個內角的2/5，它是____邊形
（7）一個多邊形的每個內角都等於140°，它是____邊形
題型2——求對角線的條數
【例2】
（1）一個多邊形的內角和與外角和的比是2：1，求這個多邊形對角線的條數，一個頂點可以引出的對角線條數，能把多邊形分成的三角形個數
（2）從一個多邊形的一個頂點出發，最多可以引出7條對角線，則它是____邊形
（3）一個多邊形共有20條對角線，它是____邊形（學完一元二次方程再做）
【題型講解】——注重方法
【例1】
（1）多邊形的外角和等於_______
【解】 360°
（2）7邊形的內角和等於________
【解】 (n-2)180°=(7-2)×180°=900°
（3）一個多邊形的內角和為1260°，它是___邊形
【解】 (n-2)180°=1260°，解得：n=9
（4）內角和是外角和的4倍，它是_____邊形
【解】 (n-2)180°=360°×4，解得：n=10
（5）一個正多邊形的一個外角為72°，它是____邊形
【解】 360°÷72°=5
（6）一個多邊形的每個內角都等於140°，它是____邊形
【解】
每個外角為180°-140°=40°
邊數=360/40=9
（7）正多邊形中，一個外角等於一個內角的2/5，它是____邊形
【解】
設正多邊形一個內角為x度，
則一個外角為2/5x度
x+2/5x=180，
解得：x=900/7
所以，一個外角為2/5×900/7=360/7
邊數=360÷360/7=7
【例2】
（1）一個多邊形的內角和與外角和的比是2：1，求這個多邊形對角線的條數，一個頂點可以引出的對角線條數，能把多邊形分成的三角形個數
【解】
由題意：
(n-2)180°=360°×2
解得：n=6
所以，
該多邊形對角線條數有6×(6-3)/2=9
該多邊形的一個頂點可以引出6-3=3條，對角線把多邊形分成了6-2=4個三角形
（2）從一個多邊形的一個頂點出發，最多可以引出7條對角線，則它是____邊形
【解】n-3=7，解得：n=10
（3）一個多邊形共有20條對角線，它是____邊形（學完一元二次方程再做）
【解】n(n-3)/2=20，即n²-3n-40=0，解得：n=8或n=-5(捨去)
【打怪題】——熟能生巧
基礎鞏固
1.若從一個多邊形的一個頂點出發，最多可以引十條對角線，則它是（ ）
A.十三邊形 B.十二邊形 C.十一邊形 D.十邊形
2.八邊形的內角和為（ ）[來源:學科網ZXXK]
A.180° B.360° C.1080° D.1440°
3.若一個多邊形的外角和是內角和的25，則這個多邊形的邊數為（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
4.［湖北宜昌中考］設四邊形的內角和等於a，五邊形的外角和等於b，則a與b的關係是（ ）
A.a>b B.a=b C.a<b D.b=a+180°
5.若一個多邊形的內角和是540°，則這個多邊形是 邊形.
6.如果一個正多邊形的每個外角都是30°，那麼這個多邊形的內角和為 .
7.已知一個多邊形的每個外角都相等，一個內角與其外角的度數之比為9∶2，則這個多邊形的邊數為 .
8.一個凸多邊形的一個內角的外角與其他內角的和為500°，求這個多邊形的邊數.
能力提升
9.過多邊形的一個頂點作一條直線，把這個多邊形截去兩個角後，它的內角和為1 260°，則這個多邊形為（）[來源:學。科。網]
A.十邊形 B.十一邊形
C.十二邊形 D.十邊形或十一邊形
答案
基礎鞏固
1. A 解析：令n-3=10，則有n=13.所以這個多邊形為十三邊形.故選A.
2. C 解析：八邊形的內角和為（8-2）×180°=1 080°.故選C.
3. C 解析：令（n-2）×180°×25=360°，解得n=7.故選C.
4. B 解析：∵四邊形的內角和等於a，∴a=（4-2）×180°=360°.∵五邊形的外角和等於b，∴b=360°.∴a=b.故選B.
5. 五 解析：（n-2）×180°=540°，解得n=5.
6. 1800° 解析：∵一個多邊形的每個外角都是30°，∴n=360°÷30°=12.∴這個多邊形的內角和為（12-2）×180°=1800°.
7. 11 解析：設多邊形的一個內角為9x度，則其外角為2x度.依題意，得9x+2x=180，解得x=180/11.所以多邊形的邊數為360÷2×180/11=11.
8. 解：設這個多邊形的邊數為n，這個內角的度數為x.則有180°-x+（n-2）×180°-x=500°，
化簡，得（n-2）×180°=320°+2x.
令n-2=2，即n=4，則有x=20°；
令n-2=3，即n=5，則有x=110°.
所以當這個內角是20°時，邊數為4；當這個內角是110°時，邊數為5.故這個多邊形是四邊形或五邊形.
能力提升
9. D 解析：設原多邊形的邊數為n，截去兩個角後，若截線為對角線，則所得多邊形的邊數為（n-2），依題意，得（n-2-2）×180°=1260°，解得n=11；若截線不是對角線，則所得多邊形的邊數為（n-1），依題意，得（n-1-2）×180°=1 260°，解得n=10.所以這個多邊形原來的邊數是11或10.故選D.
歡迎關注「玩轉初中數學」
初中數學公益輔導QQ群：192551958