教學課堂：數學解題的道與術

什麼是智慧？

智慧就是能夠在紛繁複雜的現象世界中看見異同發現規律，再以此解決問題改造現實.

這也是我們一切學習的最終目的.

而數學提供了最好的工具和方法.

在武俠小說中一切功夫以武道和心法為上，以招式為次，兵器更次，若無心法功力，即使倚天劍屠龍刀在三腳貓手中也無甚大用.像《倚天屠龍記》中的九陽真經：「他強任他強，清風拂山崗，他橫由他橫，明月照大江」，就不是具體的招式，而是武功心法.它雖沒有招式，但能產生一切招式，它雖未及兵器，但能役使一切兵器.

學習也要從道、法、術、器的不同層面進行深入研究領悟，才能更好地掌握該學科的精髓和本質.

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多說無益，且看實例，來吧，上題.

例.Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=3/4，AD=3，CD=4，BD的取值範圍為 .

如果不了解解題的方法策略和基本模型，乍看此題會比較懵圈，感覺無從下手.

數學思維的根本之道是什麼？

如果用最簡潔的文字來表達，應該是「抽象、推理」.

我們對問題進行抽象和推理：

（1）△ABC形狀確定，但大小不確定。AD、CD大小確定，但不在確定的三角形中.

（2）要求的線段BD所在三角形只有一邊確定，且無法利用已知條件建立有效聯繫.

問題的關鍵找到了，條件無法有效利用說明模型不完整，當此情境時我們通常要進行「完形構造」.「完形構造」是一種通用的思考方法，它讓我們根據條件積極地聯想尋找相關的可用的數學模型並進行構造.

上面的分析是在「道」與「法」的層面，繼續再到「術」與「器」的層面思考：如何構造模型呢？構造哪種模型呢？

完形構造法有三種具體方式：有則組之，缺則補之，無則變之.

由條件知BC：AC：AB=3：4：5，我們可以聯想到相似模型，題中的關鍵線段（已知的和所求的）是AD、BD、CD，那麼我們要幹的事自然就是構造含AD、BD、CD的三角形使之與△ABC相似，也可以看成構造與△ACD、△BCD、△ABD相似的三角形，到最後你會發現一件既神奇又合理的事：它們是一致的、等價的，異曲而同工，殊途而同歸！

既然△ABC的形狀已確定，我們就以AD為邊添補構造一個與之相似（形狀相同）的三角形△AED.AD長已定，則△AED三邊皆定.還要注意△AED的方向位置與△ABC要一致，為什麼呢？因為這樣才可以進行下一步推理，得到另一對相似三角形△ADC∽△AEB，這就是很常用的「一轉成雙」模型，如下圖.

此構造從「補形」（缺則補之）的角度看，是在AD處補上一個以其為邊的與△ABC相似的△AED；從「變形」（無則變之，變即運動變換）的角度看，是把△ABC旋轉縮放至△AED，或把△ADC旋轉縮放至△AEB.

簡要推理過程：作∠ADE=90°，DE=9/4，得△ADE∽△ACB，得AD:AE=AC:AB=4:5，且∠DAC=∠EAB，得△ADC∽△AEB，CD:BE=4:5， 所以BE=5，得5-9/4≤BD≤5+9/4，即11/4≤BD≤29/4.

上述方法可抽象概括為：以AD與AC為對應邊構造三角形與△ABC相似，或旋轉並縮放△ABC使AC與AD重合，或旋轉並縮放△ADC使AC與AB重合.

抽象具有強大的作用是因為它可以作為規律重複使用，我們把它作為一般方法再使用，把上面的邊或三角形進行同類置換：

以AD與AB為對應邊構造三角形與△ABC相似，或旋轉並縮放△ABC使AB與AD重合，或旋轉並縮放△ABD使AB與AC重合.如下圖：

推理過程與前圖類同，這裡是先在△CED中求CE的取值範圍，再根據BD=5/4CE求BD的取值範圍.

圖中的AD、BD、CD所處地位是等價的，根據對稱原理，可以把三條線段任意一條作邊構造3:4:5的相似三角形，每條線段有兩種對應方式可作兩種圖形共有六種作法，或把三個三角形分別繞A、B、C三點順逆旋轉各一次共六種構造方法，另四種構造方式如下圖：

上面六種構造方法從本質上來說是一種方式，可抽象為：以關鍵（已知或所求）線段為邊構造相似三角形（或把關鍵線段所在三角形旋轉縮放構造得到兩對相似三角形），最終把所求線段或其相關線段轉化到一個有兩邊確定的三角形（可能三邊共線）中，從而得到所求線段的取值範圍.

本題還可以從軌跡與集合的角度思考：若線段AD的位置確定，C點軌跡可以看成以D為圓心4為半徑的圓，而B點可以看成由C點繞定點A旋轉∠CAB並放大5/4倍而得，判斷C點與B點的關係屬於主從聯動模型，可得B點軌跡是圓D繞點A旋轉∠CAB並放大5/4倍，圓心也是由D繞A旋轉∠CAB得點E，半徑長為4×5/4=5，問題轉化為定點D到圓E上動點B的最大路徑和最短路徑，從而得到同樣的結論.

類似的，若線段CD的位置確定，A點軌跡可以看成以D為圓心3為半徑的圓，同樣是主從聯動模型，轉化為定點D到定圓E的最值問題.

上文所提的最值模型及主從聯動模型在拙著《中考數學思維方法與解題策略》中有完整歸納，或在本公眾號搜索關鍵字「最值」和「路徑」可以獲得相關文章專門講解.

我們在上面的問題解決中所用的都是基本的知識模型：旋轉、相似、兩點之間線段最短，但是顯然僅掌握這些知識模型是遠遠不夠的.知識模型是器與術的層面，策略方法是道與法的層面，在知識模型的運用中體現和生成策略方法，策略方法為知識模型的具體應用提供思想指導.它們相輔相成不可分割，若離開策略方法，則知識模型就成了死的無用的東西，若離開知識模型，則策略方法就成了無源之水無本之木.

我們把上述問題進行抽象可以形成這樣的一類模型：三點A、B、C組成一個確定形狀的三角形ABC，另一點D到此三點中的兩點距離確定，則D到第三點的距離取值範圍可求，概括為：一點、定形、兩定長.

這樣，我們不僅會解題，還會編題，抬手間就可以命制幾道同類問題：

（1）已知等邊△ABC，AD=3，BD=5，求CD的取值範圍.

（2）已知正方形ABCD中，AP=1，CP=3，求BP的取值範圍.

（3）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=2，E為CD的中點，CD=4，AE=√2，求BD的取值範圍.

怎麼樣，不看例題講解能不能信手拈來幾種不同的構造方法？

如果能，才算是真正掌握了領悟了這類問題的解題策略和方法！

公布答案：（1）2≤BD≤8；（2）√2≤BP≤2√2；（3）2√2≤BD≤6√2.

值得一提的是第（3）題，題中部分圖形條件符合例題模型「一點定形兩定長」，一點E到確定形狀的△ABC頂點中已知兩定長AE、CE，可求BE的取值範圍，但題目求的是BD的取值範圍，求BE並無幫助.可取BC中點F，BD=2EF，求EF的取值範圍即可.

用同樣的構造方法如下圖，作等腰直角三角形ECP，在△EFP中根據PE、PF的長求EF的取值範圍是√2≤EF≤3√2，進而求得2√2≤BD≤6√2.

也可以從軌跡的角度看，A點軌跡為半徑為√2的圓E，由BC:AC=2，∠ACB=90°，可知B點軌跡是圓E繞點C旋轉90度並放大2倍的圓P，BD就轉化為定點D到圓P上一點B的長度最值（也可以直接在△BDP根據PD、PB的長確定第三邊BD的範圍）.

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如果才能做到解決問題時得心應手遊刃有餘呢？

老子說：有道無術，術尚可求，有術無道，止於術.

莊子說：以道馭術，術必成，離道之術，術必衰.

孫子說：道為術之靈，術為道之體，以道統術，以術得道.

古人又說：上人用道，中人用術，下人用力.