圓形,這種形狀在生活中隨處可見。飲料瓶的瓶蓋;動畫中機器貓的頭部;普通汽車的輪胎。從身體內部的細胞到宇宙中的恆星都是由圓組成的。
眾所周知,求一個未知圓的面積需要圓的半徑乘以一個叫做π的因子,這也是計算圓的周長、球的體積的一個重要因子,而在解析理論中,π可以近似為sin X=0時的最小正實數。
圓周率是一個取之不盡的無理數,對於非數學專業的學生在考試時只需要記住π=3.14 15926就足夠了,不需要記住小數點後更多的位數,但是如果有一天把它算出來了,數值準確了,會導致什麼後果呢?
圓周率來自於希臘字母表中第16個字母的小寫,也來自於希臘單詞"周長"的第一個字母。當圓周率第一次被提到時,它並不是眾所周知的3.14 15926。
第一次被提是在公元前1600年前,當時一塊巴比倫石碑明確記載圓周率等於3.125,而古埃及人計算的圓周率等於3.1605。
後來,一位英國作家在一篇文章中寫道,2500年前胡夫金字塔的建造與圓周率有關,金字塔的周長與高度之比約為圓周率的兩倍,這也是圓周與半徑之比。公元前800年至600年間,圓周率的值再次發生變化,古印度《百家經》稱圓周率的值更正為3.139。
但圓周率的具體數值直到古希臘哲學家阿基米德才正式計算出來。阿基米德從單位圓出發,圓內嵌正六邊形,圓周率的最小值是3,外切正六邊形,圓周率是4。繼續用內聯外切的正十二邊形再次查找PI得更精確的最大值和最小值,以此類推,直到使用正九十六邊形。
最後,阿基米德推導出Pi的最大值為223/71,最小值為22/7。最後,兩個數的平均值為3.14 1851,這也是圓周率在當時最精確的有效數字,阿基米德也憑藉他的數字被稱為"計算數學"的鼻祖。
中國在早期也有關於圓周率的記載,古書上寫"徑一圓三",說的是半徑為一圓的面積為三。263年,劉徽用阿基米德同樣的方法,用正192多邊形,得到了圓周率為3.14 1024的數據,發現與自己的預期相差很大,於是再次計算,算出了正3072多邊形,得到了自己滿意的3.14 16。
直到祖衝之的誕生,圓周率的價值才又有了新的變化。祖衝之出身書香門第,家庭對孩子的教育使他從小就對自然科學、哲學、天文學感興趣。入朝為官後,進入研究機構華林大學做研究工作,後來又進入總明觀。
公元462年,祖衝之寫成《大明曆》,為中國提供了當時最先進的數學曆法,為後來的天文學奠定了基礎。後來,祖衝之挑戰圓周率,得到了更精確的數據,使得圓周率的數值在此後的800年裡沒有發生變化。
十五世紀初,阿拉伯數學家卡西再次挑戰圓周率,他將圓周率精確到小數點後17位,打破了祖衝之保持了近千年的紀錄。後來,德國數學家魯道夫花了一生時間精確到小數點後35位,圓周率的數值也被稱為"魯道夫數"。
然而,人類從未對圓周率後面的小數點失去好奇心,在追求更精確的同時,也在追求更快的計算速度。英國數學家Machin提出了快速計算圓周率的概念,並首次突破100位數大關,直到1948年英國的Ferguson和美國的Lunqi聯合計算出808位小數,成為人工計算的高峰。
當人類的大腦停留在小數點後808位的極限時,人類的優勢——工具的使用——幫助人類突破了極限,而計算機的出現幫助人類更具體地計算出圓周率的值。圓周率後的2037位小數,計算機只用了70個小時就完成了,平均兩分鐘才算出一個個位數。
技術的進步也讓計算速度再次提升,經過5年,升級版的計算機計算小數點後3089位數字只用了13分鐘。直到1973年才計算到小數點後100萬位。
1989年,哥倫比亞大學用計算機得出小數點後的10.1億位數字。目前,圓周比已被日本的近藤茂演繹到小數點後第十萬億位,打破了自己保持的五萬億位,但小數點依然沒有終點,人類的探索並沒有停止。
對圓周率好奇的部分原因是需要機器覆核,就像一行標準代碼,如果計算機的計算不符合標準,就檢查計算機本身是否有問題。
另一方面則來自於人類對未知的好奇,就像人類對外太空的探索一樣,好奇和期待讓人類從未停止自己的腳步。通過小數點的推演,我們也獲得了微積分和高等三角恆等式的進步,這也是一種無意地插入。
今天,3月14日被國際數學協會定為國際數學節。2009年,美國眾議院通過了一項決議,將3月14日定為"圓周率日",因為數學是教育不可或缺的一部分,而學習圓周率的意義是向孩子們介紹數學和科學的重要一步。圓周率約為3.14,因此3月14日是紀念圓周率最合適的日子。
假設有一天,隨著科學的進步,圓周率的推演被推向極致,得到一個準確的數值後,會導致什麼後果?
首先,今天無數的現代數學理論都是基於圓周率的理論推導,如果有一天得到了精確值,無數的高等數學理論就會被推翻,如果推倒的數學塔被重建,必然會造成數學界的混亂。
另外,π現在被定義為無限非重複小數,如果得到π的精確數據,證明其他無限非重複小數也可以是精確的。以今天的技術,計算這些曾經的"天文數字"將不是什麼難事。