(一)、發展歷史及現狀
牛頓和萊布尼茲發明的微積分是現代數學與古典數學的分水嶺。分數階微積分是關於任意階微分和積分的理論，它與整數階微積分是統一的，是整數階微積分的推廣。整數階微積分作為描述經典物理及相關學科理論的解析數學工具已為人們普遍接受，很多問題的數學模型最終都可以歸結為整數階微分方程的定解問題，其無論在理論分析還是數值求解方面都已有了比較完善的理論。但當人們進入到複雜系統和複雜現象的研究時，經典整數階微積分方程對這些系統的描述將遇到一些問題，如：需要構造非線性方程，並引入一些人為的經驗參數和與實際不符的假設條件；因材料或外界條件的微小改變就需要構造新的模型等等。基於以上原因，人們迫切期待著有一種可用的數學工具和可依據的基本原理來對這些複雜系統進行建模。分數階微積分方程非常適合於刻畫具有記憶和遺傳性質的材料和過程，其對複雜系統的描述具有建模簡單、參數物理意義清楚、描述準確等優勢，因而成為複雜力學與物理過程數學建模的重要工具之一。
對大多數研究人員和工程師而言，分數階微積分也許還是比較陌生的，但它實際上早在300多年前就被提出。1695年9月，洛必達（L』Hospital）在給萊布尼茲的著名信件中就寫到「對於簡單的線性函數f(x)=x，如果函數導數次數為分數而不是整數那會怎樣」。這是公認的第一次提及分數階微分。1832年，劉維爾（Liouville）成功的應用了自己提出的分數階導數的定義，解決了勢理論問題。之後劉維爾發表的一系列文章使他成為分數階微積分理論的實際級創始人。1974年，Oldham與Spanier出版了第一本關於分數階微積分理論的專著。
在近三個世紀裡，對分數階微積分理論的研究主要在數學的純理論領域裡進行，但是從近幾十年，分數階微分方程越來越多的被用來描述光學和熱學系統、流變學及材料和力學系統、信號處理和系統識別、控制和機器人及其他應用領域中的問題。分數階微積分理論也受到越來越多的國內外學者的廣泛關注，特別是從實際問題抽象出來的分數階微分方程成為很多數學工作者的研究熱點。隨著分數階微分方程在越來越多的科學領域裡出現，無論對分數階微分方程的理論分析還是數值計算的研究都顯得尤為迫切。但是目前分數階微積分的實際工程應用存在許多障礙，很重要的一個原因是分數階微積分的數學基礎仍未完善。
目前就數學領域而言，分數階微積分存在的主要問題有:多種分數階微分算子定義形式，在實際應用中都各有優勢，尚不能做到統一；在理論研究方面，幾乎所有結果全都假定了滿足李氏條件，而且證明方法也和經典微積分方程一樣，換句話說，這些工作基本上可以說只是經典微積分方程理論的一個延拓。對分數階微分方程的定性分析很少有系統性的結果，大多只是給出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都具有局限性。在數值求解方面，現有分數階方程數值算法還很不成熟，主要表現為：（1）在數值計算中一些挑戰性難題仍未得到徹底解決，如長時間歷程的計算和大空間域的計算等；（2）成熟的數值算法比較少，現在研究較多的算法主要集中在有限差分方法與有限單元；（3）未形成成熟的數值計算軟體，嚴重滯後於應用的需要。
(二)、對未來發展的看法
鑑於此目前分數階微積分發展的現狀及主要問題，我認為未來分數階微積分的發展要抓住幾個關鍵點：（1）分數階微積分還處在探索階段，其理論體系還需要進一步擴充和完善。這也是我們方向未來的主要工作。（2）分數階微積分作為一種新穎的數學工具，在應用來解決物理、力學、生物、信號處理、材料等學科問題還任重而道遠。未來要著重於理論研究與實際應用相結合。（3）在數值計算方面應發展新數值算法，特別是在保證計算可靠性和精度的前提下，提高計算效率，解決分數階微分方程計算量和存儲量過大的難點問題，發展相應的計算力學應用軟體成為迫切需要關注的課題。