後臺有同學發來一道他手寫的題目照片，如圖1所示。我猜測他是憑記憶重寫的，因為就這道手寫的題目我是沒法作出回答的——兩個式子應該都存在著錯漏：第1個式子像是求傅立葉變換，但手寫原式實際上就是求f( t )δ( t - nT )=f( nT )δ( t - nT )的傅立葉變換，這很簡單，但意義似乎不大；第2個式子像是求序列的離散時間傅立葉變換（DTFT），但這個憑回憶手寫的式子卻將連續和離散信號（序列）不很恰當地揉到了一起，使人更感困惑，無從下筆求解。
圖1 發至後臺的手寫題目
反覆看了多遍之後，我揣測題目原來應該是圖2所示的「模樣」。
圖2 經我修訂後的題目
作為問答題，修訂後的版本實際上要求大家回答這樣的問題：「通過對連續信號f( t )進行衝激取樣，已得到時域取樣定理的結論。我們也強調過取樣定理是連接『連續』和『離散』的橋梁。那麼這個橋梁作用究竟怎樣完整地體現出來呢」？我在此加了「完整地」這個修飾語，是因為包括我自己在內，在課上可能並沒有真正地把這種橋梁作用完全揭示出來，而使這個問題的廓清停留在「大家搞懂時域取樣定理就行了」的淺層次認識水平上。
下面我想結合這道題目試著說說這個「橋梁作用」。上面提到了離散信號（序列）的離散時間傅立葉變換（DTFT），儘管我們課上沒講這個變換（參見本校教材§4.10 二），但並不妨礙下面的討論，討論結束的時候我們將「自然而然」地給出這個變換的定義。可以指出的是，DTFT是本校通信專業學生在後續「數位訊號處理」課程中的主要內容之一。
【修訂後題目試解】
衝激取樣信號fs( t )的頻譜和與之相對應的取樣序列f1( k )的頻譜的關係如圖3所示。
圖3 取樣信號fs(t)的頻譜和取樣序列f1(k)的頻譜
對比之下，可以看出，衝激取樣後取樣信號的頻譜呈現出周期性，周期為Ωs，Ωs=2π/Ts，Ts是取樣間隔；由取樣值所對應出的離散時間信號（序列）的頻譜同樣具有周期性，並且周期等於2π。
小結
真實世界中的信號處理問題都離不開對原始的連續時間信號的取樣，或者說，對連續時間信號進行處理的第一步一般都是先對它進行取樣。究其原因在於，真實世界中的信號處理都要藉助於計算機（或者處理器）來完成，而哪怕計算機擁有非常巨大的存儲空間（再巨大也還是有限的），它也是無法保存下連續時間信號中哪怕非常小的一個片段——連續時間信號的任意一個小片段也是由無窮多個時刻（無窮多個連續的實數值）所對應的無窮多個信號值組成的。所以，真實世界中的信號處理實際上都是對取樣以後的離散時間信號進行的。這無疑凸顯出取樣定理的至關重要性。
以上題目的解答都假定待取樣的信號滿足時域取樣定理，即待取樣信號f(t)的最高角頻率ωm≤ωs/2（注意上述解答中，在表示取樣角頻率時使用的大寫的希臘字母「Ω」，並將它記作Ωs。此處為跟課本/課件統一起來使用了ωs的註記符號。本文後面為行文方便也將交替使用Ωs和ωs）。
根據圖3，取樣角頻率Ωs對應於離散角頻率2π（單位是弧度，rad），那麼顯然Ωs/2就對應於離散角頻率π（單位是弧度，rad）。根據取樣定理，取樣角頻率的一半Ωs/2是取樣不造成信號頻譜混疊所對應的最高頻率。換言之，對於一個滿足取樣定理條件的情況下得到的取樣信號，它能夠有效呈現的最高角頻率就是Ωs/2；對於一個滿足取樣定理條件的情況下得到的取樣序列，它能夠有效呈現的最高離散角頻率就是π（請注意離散頻譜以2π為周期的周期性，同時實序列的幅度譜必然是θ的偶函數；以上給出的頻譜都假定為幅度譜）。取樣後，連續信號頻譜和序列頻譜的特徵對比如表1。
表1 取樣後，連續信號頻譜和序列頻譜的特徵對比
離散時間信號傅立葉變換（DTFT）
下面我們給出序列離散時間傅立葉變換的正變換定義式：
對於序列f( k )，它的離散時間傅立葉變換（DTFT）定義為：
我們也將序列f( k )的DTFT稱為它的頻譜。
淺識DFS、DTFT和DFT
連續信號的傅立葉分析是本校課程中的「重頭戲」，而對與之對應的離散傅立葉分析的內容，我們一般在課上不講，屬於了解性內容。表2給出了相應數學工具的說明。
表2 連續和離散傅立葉分析的數學工具
表註：我們已經學過的傅立葉級數和傅立葉變換也被稱作連續時間傅立葉級數和連續時間傅立葉變換。
之前的圖文消息中有針對「離散傅立葉分析」數學工具的一個概述，請參考以下連結：
DFS、DTFT和DFT概述。
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