寫在前面：建議讀者看完題後，先自己親自做下，然後再結合本文分析來看，這樣效果會更好！
各位考研狗辛苦了，先給各位上兩道小菜，讓各位再辛苦下！
兩道第二類曲面積分題目的計算：
哎呦！
不是度過了打拼的年齡，就應該退隱江湖嗎？
不是度過了打拼的年齡，就應該食山果飲甘露，日撫瑤琴夜讀詩書嗎？
2009年的第二型曲面積分，這貨怎麼又重出江湖興風作浪了？
難道說武林有一場大事發生？
稍作鎮定下來，我定了定神，思考第二型曲面積分長啥樣？
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1 第二型曲面積分長啥樣？
第二型曲面積分呢，也叫對坐標的曲面積分，題目中會出現P、Q、R三個的積分，它長這個樣子」
繼續展開思考哦~
假如現在就讓你算一個曲面積分，沒有P、Q這兩個函數，只有R，這裡的曲面取得比較特殊，它就取的是一個xoy上的一個平面區域，那你想一下，我可以不可以這樣講：這其實就等同於算一個平面區域上的二重積分？、
不可以！
為什麼？
因為第二型的曲線積分、第二型的曲面積分啊，一定要注意方向！
剛才所提問的，其實是沒有指明方向，如果你說清楚這裡的平面區域是向上或者向下，那麼在結果上就要加正號或者負號。
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2 第二型曲面積分的計算
還記得第二型曲面積分怎麼計算嗎？有幾種方法呀？」
有兩種解法。
一種是咱們平時的基本計算，也就是將第二類曲面積分化為二重積分來計算；
另一種計算辦法是高斯公式法，也就是將第二類曲面積分轉化成3重積分。
進一步展開講講這兩種方法：
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3 第一種計算方法
在第一種方法中，我們把它叫做：一代二換三定號」。
所謂一代，指的是將曲面方程代入被積函數，即將被積函數中的某一個量藉助曲面方程來表示出來，這一步是必須做的。
所謂二換，指的是將ds換成dxdy，將曲面sigma換成Dxy，當然，這裡講的是假設它投影到xoy平面，
最後所謂的三定號，指的是需要我們最後在二重積分的結果前面加上正負號，上為正，右為正，前為正，其餘為負，主要是看平面的法向量方向與z軸正向的夾角為銳角還是鈍角，如果是銳角，則為正，反之則為負。
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4 第二種計算法---高斯公式法！
第二個計算方法—高斯公式法呢，乃高斯前輩所創，這套方法是將第二類曲面積分化成了3重積分來計算，雖然說積分重數上增大了，但是實際上簡化了運算」。
既然是有用的公式，那麼就有對應的使用條件，針對使用條件，考試中心那幫人肯定就會給你使壞，給你破壞公式！
術 清晰了，咱們回看開頭給的那兩道小菜！
不就是計算第二類曲面積分嗎？我用高斯公式分分鐘滅掉你！來吧！比試比試！
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5 第一題的解答
第一題的解答如下：
如果你的答案是上面的，那麼恭喜你！
數字對了，步驟錯了！
你得不到滿分！！！
什麼情況？難道是敵人布下了陷阱？我們上當了？？？
低下高昂的頭顱，重新認真分析，可惡，這題所給條件不封閉，我得加個面，然後將曲面方程代入到被積函數中，很熟悉的套路！
咦？哪裡好像不對勁？
啊！竟然是它！又是你—不連續！！！我知道哪裡出問題了！重新來戰！！！
說時遲，那時快，我輕輕畫了一條線，重新排了順序，轉眼間得到滿分了！！！
補充的那個面含有奇點，如果先補面，然後再帶入，勢必會讓高斯公式失效，發揮不了威力，因此只能先將曲面方程代入被積函數，打好這個頭陣，然後再補面！
思考完畢，我將自己對這道題的學習心得寫在了旁邊：
就算是加面減面，也得將順序調整好！
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6 第二題的解答（2009年真題！）
既然是加了個面，那我就減去這個面（不要管什麼積分符號，就按照最簡單的數學加減來想），緊接著再利用高斯公式，轉化成3重積分，最後成功算出了答案！
答案雖好，可是卻費時費力！！！
眼尖的同學，估計已經看出來這道題在哪出現過了，它不僅僅是一到考研真題，更是2018某數學18講中的一道例題！圖片為證！
考研狗們，需要你靜下心來思考一下了！
做題絕不是做出個答案，一看對了就萬事大吉了，不要忘了優化！
試想一下，等到你正式上戰場時，拼的就是速度和準確度，你這個解法在前面計算偏導數時，耗費了大量的時間，而且萬一在考場上緊張呢，忙中出錯呢？？？
像只用這種教材輔導書教出來的徒弟，做了不多多思考，恐怕在戰場上會大大的吃虧！
破敵之道，關鍵就是寶刀君平日強調的「穩、準、快」！
怎麼破？怎麼樣提高速度？誰能告訴我？
哪位高數前輩可以告訴我？費馬？拉格朗日？格林？高斯？
對了，格林、高斯！我知道怎麼做了！！！
優化後的解法如下：
能寫出上面這個答案的，估計就是已經將格林公式和高斯公式融會貫通了！！！
事實上，格林公式和高斯公式有異曲同工之妙，回想一下格林公式：任何2條同向包含奇點在內的封閉曲線，兩條曲線積分的結果都是一樣的，那麼回到高斯公式上，任何包含奇點在內的兩個曲面，只要方向相同，那麼他們兩的曲面積分記過也是相同的，經過這樣構造的曲面方程，就可以順利的去掉分母，然後再次使用高斯公式，簡化計算！！！」
其實，從剛才第二題的第一個解法步驟中，其實我們也能發現，原式的曲面積分積分值，就等於重新構造的在這個同向曲面上的積分值，就是：
那麼，格林公式和高斯公式又有何不同呢？
像之前的第二類曲線積分，你如果碰上了，一定要用格林公式，而至於高斯公式嘛，滿足條件你就用，如果不滿足，那就老老實實的用第一個計算方法吧！
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7 總結
以上是對第二類曲面積分的分析，這個內容確確實實是考研考試中的重點，但是我們不要忘了，還有第1類曲面積分呢？它要是哪一年冷不丁出出來，難度一點都不必第二類曲面積分難度小！
如何應對？
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