曲線曲面積分與重積分知識點匯總

2021-02-14 數學考研李揚

本文源自揚哥去年生日發的推送, 主要梳理曲線曲面積分與重積分的各種計算方法以及對應的一些聯繫, 題目多數來自每日一題與裴禮文, 還有部分為華師大課本例題.

計算題中, 對稱性要放在戰略的高度. 其次, 計算首先要充分掌握揚哥計算有一套之三角函數積分技巧:

1. 空間第二型曲線積分

揚哥如果是出題人, 一定會考空間第二型曲線積分的計算, 原因是它幾乎可以涉及到所有的曲線曲面積分與重積分方法. 今天, 揚哥就從空間第二型曲線積分開始, 為大家一一梳理曲線曲面積分與重積分之間的聯繫以及它們各自的計算方法.

1.1 參數法

空間第二型曲線積分最基本的計算方法為參數法化為定積分, 這同平面上的曲線積分是一樣的. 最為關鍵的是怎樣得到曲線的參數方程, 來看一個難題:

上述這種用正交變換得到曲線參數方程的題目相對較少, 而對於一般的參數法題目, 大家應該瞭然於心.

1.2 斯託克斯公式

學了斯託克斯公式以後, 我們知道空間第二型曲線積分還有另外一種極端重要的方法——轉化為第二型曲面積分. 這時要求積分曲線是一條周線, 從而圍成一個面, 這個面就是化為第二型曲面積分後的積分區域. 例題見之後的 2.3.

2. 第二型曲面積分

首先我們知道第二型曲面積分是有方向的, 其含義是流過一個曲面的磁通量. 一般地, 我們規定:

這就是揚哥課程裡面說的流水問題, 通常我們定義往"上"流為正, 往"下"流為負, 封閉曲面時, 往"外"流為正, 往"內"流為負.

2.1 化為二重積分

第二型曲面最基本的方法是通過找投影化為二重積分. 想要提醒一點的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 這時候我們知道 x'=0, 即 dx=0, 所以曲面積分中包含 dxdy 與 dzdx 的兩項直接為零, 而關於 P(x,y,z)dzdx 的積分, 也變為了 P(c,y,z)dydz 的積分, 然後結合方向就可以化為二重積分. 同理, 對於 y 或者 z 為常數的情況亦是如此. 我們看一個簡單的例子:

2.2 對稱性

第二型曲面積分多了側的考慮, 那麼對稱性就會更加麻煩一點. 這時候不僅要考慮在對稱點處函數值的正負, 還要考慮對應的 dydz dzdx dxdy 的正負, 這需要多練習才能得心應手. 來看兩個例子:

首先看裴禮文上關於第二型曲面積分的敘述和例題:

然後是每日一題上關於第二型曲面積分對稱性的例題(這個題目也可以通過高斯公式解決):

2.3 化為第一型曲面積分

第二型曲面積分可以化為第一型曲面積分, 這是極容易被忽視的重點. 首先看一個簡單的例子:

在 1.2, 我們說空間第二型曲線積分可以通過斯託克斯化為第二型曲面積分, 此時的第二型曲面積分很多是化為第一型曲面積分更加方便直接, 甚至只有化為第一型曲面積分才能做出來. 那現在再看如下的第二型曲線積分的計算, 其過程實際是先化為第二型曲面積分, 然後又化為第一型曲面積分, 最後通過第一型曲面積分的找投影方法得到結果.

2.4 高斯公式

第二型曲面積分另外一種極端重要的方法就是利用高斯公式化為三重積分, 這是所有同學都喜歡的方法, 但是也需要注意一些東西. 注意的東西可以從高斯公式的條件中看出來:

"封閉"不用說, 大家都知道補全問題. 另外"外側"大家也基本能注意到方向問題. 而積分函數在積分區域體內(不是表面)"連續", 這就產生一類有暇點題. 具體如下:

普通的真題如下:

3. 第一型曲面積分

3.1 對稱性

第一型曲面積分的對稱性相對第二型來說, 沒有了側的問題, 而只需要考慮積分函數的對稱性即可. 來看裴禮文上的講解和例題:

接下來看揚哥每日一題上的例題:

3.2 化為二重積分

第一型曲面積分最基本的計算方法就是同第二型曲面積分一樣, 也是化為二重積分. 這時候注意公式:

對於 z=z(x,y) 的類型, 相對比較簡單, 但是下面這個題目卻不好算:

3.3. 化為第二型曲面積分

上述說到兩類曲面積分的聯繫, 第二型曲面積分化為第一型曲面積分是極為重要但又容易被忽視的計算方法. 但反過來, 也有一類題需要將第一型曲面積分化為第二型曲面積分, 這其實很明顯. 來看下面的例題:

另外, 第一型曲面積分化為第二型曲面積分以後, 再結合高斯公式就有如下一類一瞪眼兒的問題:

4. 重積分

重積分分為三重積分與二重積分, 它們的計算方法就是兩種: 一種是化為累次積分, 一種是變量變換. 其中變量變換涉及到了雅克比行列式, 一定不能忘記. 二重積分的含義是曲頂柱體的體積, 而三重積分的含義是體積.

4.0 對稱性

關於重積分的對稱性較為簡單, 這裡不再贅述.

4.1 化為累次積分

二重積分化為累次積分是簡單的, 來看課本上的兩個例子:

對於三重積分化為累次積分, 其有 1+2 和 2+1 兩種情況, 即對應的投影法與截面法.

具體用那種要視積分區域的形狀和積分函數的性質來確定, 來看具體例子:

另外, 變量變換中的柱坐標變換其實就是三重積分化為累次積分的應用. 所以揚哥很少使用柱坐標變換, 遇到類似的問題直接化為累次積分進行解答. 一個簡單的例子如下(注意旋轉面方程一定要會寫):

4.2 變量替換

變量替換是重積分最重要的計算方法, 多數的題目都會化為三角函數的積分, 而三角函數的積分自然是用揚哥計算有一套輕鬆搞定.

首先看二重積分的變量變換問題:

4.2.1 普通變量變換

4.2.2 極坐標變換

極坐標是多數同學高中沒有接觸過的知識點, 所以難免有些生疏. 這裡為了提高大家對極坐標的理解, 先分享關於二重積分通過極坐標變換化為累次積分的例子, 希望大家真的可以學會處理:

關於重積分的變量替換題目, 有一類涉及到了求體積問題, 我們放在之後的 4.3 進行講解. 下面是極坐標的一個典型應用:

接下來我們看三重積分的變量變換:

4.2.3 普通變量變換

先看定理:

兩個簡單的例子如下, 一瞪眼兒的事兒就不給大家找答案了.

4.2.4 球坐標變換

關於三重積分的變量替換, 更常見的是用於求體積問題, 這我們單獨拿出來介紹.

4.3 求體積問題

關於求體積的問題, 按說是三重積分的問題, 但某些由於題目的特殊性, 我們直接將其化為了二重積分. 來看例題:

廣義極坐標變換的雅克比行列式也要記住, 下面的例 6 也可以用廣義球坐標替換.

千呼萬喚始出來, 我們看三重積分的球坐標與廣義球坐標替換:

關於球坐標替換, 需要掌握對應變量的具體含義, 我們拿一個好題來強調:

另外, 關於求體積問題, 每日一題上也有說到:

5. 第二型曲線積分

曲線積分分為平面和空間的兩類. 回應開頭, 我們講了空間第二型曲線積分的參數法與斯託克斯公式法.

5.1 參數法

對於平面的第二型曲線積分, 依舊可以用參數法化為定積分. 這很簡單, 舉一個課本的例子吧!

5.2 對稱性

第二型曲線積分的對稱性與第二型曲面積分類似, 在對稱點處除了考慮積分函數的正負, 還要需要考慮對應點處 dx, dy, dz 的符號, 來看一個經典的例子:

5.3 化為第一型曲線積分

這需要注意兩類曲線積分的聯繫, 揚哥每日一題上是這樣講的:

5.3 格林公式

對應斯託克斯公式, 平面上的第二型曲線積分可以利用格林公式化為二重積分, 這是非常重要的一類題, 其類似前面 2.4 高斯公式的應用:

同時, 對比 3.3, 利用兩類曲線積分與格林公式, 還有如下一類顯而易見的問題! 注意學習內積的處理手段.

5.4 曲線積分與路徑無關

曲線積分與路徑無關的題目, 一定要用找出原函數的方法. 否則, 有可能題目會變得非常麻煩. 來看揚哥每日一題的闡述:

接下來是一個真題:

6. 第一型曲線積分

6.1 化為定積分

如果在學習定積分應用的時候掌握了弧長微分, 那第一型曲線積分的計算公式將變得顯然:

6.2 對稱性

第一型曲線積分的對稱性與第一型曲面積分類似, 這裡只需要考慮被積函數的在對稱點處的符號即可. 來看例子, 這是揚哥考研時的真題:

補充

1. 要知道一個參數的方程為線, 兩個參數的方程為面, 三個參數的方程為體. 同時注意 F=F(x,y) 與 F(x,y)=0 是完全不同的, 前者是兩個變量, 而後者是一個變量, 比如 z=x+y 這是二元函數, 但是 x+y=0 卻等價於 y=-x, 這是一元函數.

2. 舉個例子: 曲線積分在 x^2+y^2=1 上積分, 那麼被積函數隻要出現 x^2+y^2, 就可以直接帶入 1, 但對於二重積分, 一般都是在 x^2+y^2=1 的內部積分, 這時候其實是 x^2+y^2≤1, 做極坐標變換 x=rcos(θ), y=rsin(θ), 是關於 r, θ 的兩個變量, 此時積分函數出現 x^2+y^2 的話, 應該是等於 r^2, 其中 r∈[0,1] 是需要進一步積分的. 同理, 曲面積分與重積分也有類似區別.

3. 關於曲線的切線, 曲面的切平面問題, 都可以用隱函數知識點搞定, 但是有一類一瞪眼兒出結果的問題需要大家額外注意. 這揚哥從平面幾何的拋物線說起吧!