1、 二重積分的建模思想與模型構建步驟
(1) 建模思想：微元法（元素法）
「大化小, 常代變, 近似和,取極限」
(2) 模型轉換
公式中△σk表示小區域面積，括號中△σk表示區域。
2、 二重積分的幾何意義與物理意義
幾何意義：(1) 當f(x,y)=1，則表示積分區域D的面積；
(2) 當f(x,y)≥0，則表示以積分區域D，以D的邊界為準線，母線平行於z軸的柱面為側面，頂為z=f(x,y)的曲頂柱體的體積.
物理意義：當f(x,y)>0，則表示面密度為ρ=f(x,y)的，佔有平面區域D的平面薄片的質量.
3、 二重、三重積分的計算性質
除了線性運算性質、對積分區域的可加性、保序性、絕對值不等式、估值定理、積分中值定理外，有如下兩個重要的計算性質。
性質(偶倍奇零)設函數f(x,y)在有界閉區域D上連續.
●如果D關於x軸對稱，記其x軸上方區域為D1，則有
●如果D關於y軸對稱，記其y軸右側區域為D1，則有
●如果積分區域D關於原點對稱，則二重積分
其中D1為D的上半部分．
【注】以上性質就是「偶倍奇零」的計算性質，注意使用時，積分區域的對稱性與被積函數的奇偶性之間要匹配。即積分區域關於x軸對稱，被積函數關於y變量有奇偶性；積分區域關於y軸對稱，被積函數關於x變量有奇偶性，則積分偶倍奇零。
性質(輪換對稱性)設函數f(x,y)在有界閉區域D上連續，積分區域關於直線y=x軸對稱，直線y=x軸下方部分記作D1，直線y=x軸上方部分記作D2，則有
4、 直角坐標系下的二重積分計算步驟與典型例題
第一步：畫圖(畫確定積分區域的各邊界曲線，根據題意確定區域).
第二步：簡化計算(判斷積分區域整體，或者經過分割後的部分是否關於坐標軸、原點或y=x直線對稱、判斷被積函數整體，或者經加減運算拆項的部分是否具有相應變量的奇偶性，藉助偶倍奇零與輪換對稱性化簡計算)
第三步：確定積分區域類型(根據積分區域圖形與被積函數特徵，確定最終需要計算的積分區域的類型：簡單X-型或簡單Y-型，如果不是則分割積分區域)
第四步：投影求型限(將積分區域投影到型變量對應的坐標軸上，確定型變量的範圍：常值區間)
第五步：畫線定餘限(在型變量的取值範圍內，做平行於餘變量對應的坐標軸，並且同向的有向直線穿過積分區域，入點為下限，出點為上限：上下限一般為型變量的函數或者直接為常值)
第六步：餘變先積分，最後積型變。
如果不考慮積分計算性質簡化計算，則可以概括為以下25字計算過程：
畫域圖定型、投影求型限、畫線定餘限、餘變先積分、最後積型變
5、 極坐標系下的二重積分計算步驟
第一步：直角坐標系下畫圖(畫確定積分區域的各邊界曲線，根據題意確定區域).
第二步：簡化計算(判斷積分區域整體，或者經過分割後的部分是否關於坐標軸、原點或y=x直線對稱、判斷被積函數整體，或者經加減運算拆項的部分是否具有相應變量的奇偶性，藉助偶倍奇零與輪換對稱性化簡計算)
第三步：確定坐標系(確定使用極坐標計算二重積分，根據被積函數特徵，如包含x^2+y^2、y/x或x/y描述或包含相應項；積分區域的特徵：由射線、圓弧等圍成；或者積分在直角坐標系下不能進行有效計算)
第四步：轉換描述(藉助直角坐標與極坐標的關係：x=ρcosθ，y=ρsinθ轉換被積函數表達式與積分區域邊界曲線描述形式用極坐標描述)
第五步：確定積分區域類型(根據積分區域圖形與被積函數特徵，確定最終需要計算的積分區域的類型：簡單θ-型或簡單ρ-型，如果不是則分割積分區域)
第六步：掃描求型限(對於簡單θ-型，用x正半軸逆時鐘掃描；對於簡單ρ-型，從ρ=0開始，以極點為圓心，半徑逐漸增大的同心圓掃描，確定型變量的範圍：常值區間)
【注】θ的取值範圍一般取為[0,2π]，也可以取為[-π, π]；ρ的取值範圍則為[0,+∞].
第七步：畫線定餘限(在型變量的取值範圍內，做射線穿過積分區域，或以極點為圓心的圓逆時鐘穿過區域，入點為下限，出點為上限：上下限一般為型變量的函數或者直接為常值)
第八步：餘變先積分，最後積型變。
【注】特別注意，被積函數除了直接函數轉換成的表達式外，還要多乘以一個ρ，即有
6、 三重積分的物理意義與幾何意義
物理意義：當被積函數f(x,y,z)>0時，表示體密度為f(x,y,z)的，佔有空間立體區域Ω的物體的質量。
幾何意義：當被積函數f(x,y,z)=1時，表示佔有空間立體區域Ω的空間立體的體積。
【注】三重積分的積分性質與二重積分相似。比如三重積分的中值定理為：設f(x,y,z)在有界閉區域Ω上連續，V為Ω的體積，則存在(ξ,η,ζ)∈Ω，使得
7、 三重積分的計算性質
如果三重積分的被積函數整體，或者經過加減拆項後的某項關於某個變量，或者三個變量的奇偶性；積分區域整體，或者經過分割以後的某個部分具有關於坐標面或原點的對稱性；積分區域具有關於直線x=y=z的輪換對稱性，則三重積分可以藉助如下「偶倍奇零」或者「輪換對稱性」的計算性質來簡化三重積分的計算。
(1) 三重積分的「偶倍奇零」的計算性質
如果三重積分的被積函數滿足
即被積函數分別關於z變量、x變量、y變量、三個變量同時具有奇偶性；而如果相應的積分區域分別關於(a)xOy坐標面對稱、(b)yOz坐標面對稱、(c)zOx坐標面對稱、(d)原點對稱函數，並記其中一側的區域為Ω1，則
●當被積函數為奇函數時，有
●當被積函數關於z變量為偶函數，有
(2) 三重積分的「輪換對稱性」的計算性質
當積分區域關於直線x=y=z對稱時，即描述積分區域的方程或不等式輪換x,y,z變量時，方程與不等式的描述形式不發生變化，如x2+y2 +z2≤R2的球域，則在這樣區域上的三重積分滿足輪換對稱性，即有
同樣，如果積分區域關於平面x=y對稱，則對於x，y變量具有輪換對稱性，即
類似有積分區域關於平面y=z,z=x對稱的輪換對稱性計算性質。
8、 三重積分的直角坐標計算方法
(1) 先一後二的「投影法」的基本步驟
以簡單XY-型區域（或稱為關於z軸的簡單區域）為例。
簡單的XY-型區域是指：在積分區域xOy面上投影區域內任取一點，做與z軸同向的直線穿過區域，下交點都在由同一個二元函數z=z1(x,y)描述的曲面上，上交點都在由同一個二元函數z=z2(x,y)描述的曲面上的立體區域。(參見該文最後列出的參見文章列表了解詳細分類與上下限確定方法)
基本步驟：
第一步：作出空間區域Ω的圖形，將Ω投影到xOy平面上，得到投影區域Dxy，並對投影區域進行分類，寫出明確的不等式描述形式:
第二步：確定關於變量z的積分限，並計算關於z的定積分．在投影區域Dxy上任取一點(x,y)，過(x,y)作平行於z軸的直線，該直線順著z軸的方向從曲面S1上點(x,y, z1(x,y))處進入Ω，在曲面S2上點(x,y, z2(x,y))處離開Ω，得
計算關於z的定積分
第三步：對計算得到的結果，以Dxy為積分區域計算二重積分，得三重積分的值．
以上步驟用公式表示為：
特別地，對於立方體積分區域：
Ω={(x,y,z)|a≤x≤b,c≤y≤d,m≤z≤n},
有
(2) 先二後一的「截面法」的基本步驟
以先對x,y變量求二重積分，再對z變量求定積分為例（這種方法直接參考課件中列出的習題的解題過程）：
第一步：將Ω投影到z軸上，得z軸上的投影區間[a,b]；
第二步：過[a,b]上任意點z作垂直於z軸的平面，該平面與Ω的截面在xOy平面上的投影區域為D(z)．
第三步：在D(z)上藉助二重積分的計算方法計算
其中z在這裡為常數。
第四步：對計算得到的結果在[a,b]上求定積分，即
(3) 三重積分的直角坐標計算方法注意事項
【注1】對於直角坐標系下三重積分的計算，積分區域簡單類型的確定非常關鍵，根據簡單類型不等式的描述形式，就可以直接寫出三重積分的累次積分表達式，從而通過定積分計算的方法計算得到三重積分的結果。
【注2】對於其中出現的先二後一與先一後二計算過程，對於考慮的二重積分我們可以根據積分區域選擇二重積分的直角坐標計算方法，或者極坐標計算方法。
【注3】在具體的三重積分計算過程中，在考慮積分區域的分類之前，一般事先最好仔細考察三重積分的被積函數與積分區域的特點，如果發現積分區域整體，或者通過分割後的部分具有關於坐標面對稱特徵；並且被積函數整體，或者通過加減拆項後部分具有與區域對稱性相匹配的變量的奇偶性時，則應該先考慮藉助「偶倍奇零」的計算性質來簡化計算過程；同樣，如果積分區域關於x,y,z變量具有輪換對稱性時，也可以考慮輪換對稱性來化簡積分計算。
9、 三重積分的柱坐標計算方法與步驟
適用的三重積分類型：被積函數中有兩個變量的平方項和或者兩個變量的差，如x2+y2,y2+z2, z2+x2,x/y,y/z,z/x,y/x,z/y,x/z等結構；或者積分區域由母線平行於坐標軸的半平面、圓柱面，平行於坐標面的平面圍成的時候，這樣的三重積分可以考慮柱坐標計算方法，即三重積分開始計算的二重積分或者後面計算的二重積分適用於二重積分的計算方法時，則考慮柱坐標計算方法。
適用的計算思想：其實三重積分的柱坐標計算方法就是三重直角坐標系中「先二後一」或「先一後二」計算方法中，那個二重積分採用了極坐標方法來計算而已。如果在計算過程中將三重積分中的所有那兩個變量全部用極坐標變量來描述，那就是柱坐標計算方法；否則稱為直角坐標方法，可以說在求解過程中基本上沒有產生新的方法。不過能夠更好地適用於三重積分的計算區域為簡單類型，其投影區域為極坐標系中的簡單類型的三重積分。所以能夠使用「先一後二」（投影法）計算的三重積分可以考慮使用柱坐標。
具體的計算步驟：
第一步：根據積分區域特徵與被積函數表達式，選擇確定用極坐標描述的兩個變量（如x,y變量）；
第二步：藉助柱坐標與直角坐標的關係，將圍成積分區域的邊界曲面方程描述為柱坐標方程，並將被積函數表達式描述為柱坐標描述形式。
第三步：根據三重積分直角坐標系中「先一後二」的計算方法確定非極坐標變量的上下限，得到一個定積分描述形式，如
第四步：將結果作為投影區域上的被積函數，並用極坐標的方法計算二重積分，假設積分區域是簡單的θ-型區域，則有
10、 三重積分的球坐標計算方法與步驟
【注】球坐標系下空間區域的分類及定限方法，球坐標系及球坐標與直角坐標之間的關係參見本文最後列出的更多文章閱讀列表。
(1) 三重積分球坐標計算方法與步驟
第一步：轉換邊界曲面方程描述。將圍成積分區域的邊界曲面方程用極坐標變量描述。
第二步：確定積分區域類型，選擇積分計算次序。
第三步：確定積分變量上下限，參照球坐標系下空間區域的定限方法確定各球坐標變量的積分上下限。
第四步：計算累次積分得到最終結果。
(2) 使用球坐標計算三重積分注意事項
【注1】三重計算的球坐標計算方法一般適用於被積函數為三個平方項，或者能夠轉換為三個平方項描述的被積函數；積分區域則適用於由錐面、半平面和球面所圍的積分區域；當然，如果三重積分適用其他計算方法不方便計算的時候，則也可能需要考慮球坐標的計算方法。
【注2】不管是使用直角坐標方法，還是柱坐標或者球坐標方法計算三重積分，在構造累次積分表達式之前，應該充分考慮積分區域整體或者部分關於坐標面或者關於原點的對稱性，同時結合考慮被積函數整體或者通過加減運算拆項後的函數的奇偶性，如果匹配「偶倍奇零」計算性質要求，則首先考慮先藉助「偶倍奇零」性質簡化計算，另外也考察積分區域是否具有「輪換對稱性」，如果有，則考慮使用輪換對稱性簡化計算；然後再考察或者嘗試三種累次積分方法，選擇最適合的方法構造累次積分表達式，然後完成三重積分的計算過程。
11、重積分應用建模的基本思想與步驟
(1) 基本思想：元素法（微元法）
(2) 建模步驟：分割取近似，求和取極限
所求量分布在有界閉域上的整體量，對區域具有可加性；
用重積分解決問題的方法：用微元分析法 (元素法)、從積分定義出發建立積分模型。
12、曲面面積的積分模型
基於「以平代曲」，以切平面的面積近似曲面的面積，對於簡單XY-類型的曲面，即曲面∑可以描述為
則曲面∑的面積為
類似，簡單YZ-型、簡單ZX-型曲面的面積分別為
球坐標系下，面積微元可以近似為半徑為a的球面的表面積來計算，則有
如求球心在原點，半徑為a的球面的面積計算。
13、 質量積分模型
(1) 平面薄片的質量：
(2) 空間立體的質量：
14、質心積分模型
(1) 空間立體的質心計算模型
體密度為μ=μ(x,y,z)，佔有空間立體區域Ω的立體的質心計算模型為：
【注】當物體的密度為常數μ(x,y,z)= μ時，質心稱為物體的形心，此時有
其中V為立體的體積。
(2) 平面薄片的質心
面密度為μ=μ(x,y)，佔有平面區域D的平面薄片的質心計算模型為：
特別地，當μ(x,y)= μ為常數，即平面薄片密度分布均勻時，得到
其中A為該薄片的面積．此時的質心只與薄片的幾何形狀有關，質心稱為平面薄片的形心。
15、轉動慣量積分模型
(1) 平面薄片轉動慣量計算模型
面密度為μ=μ(x,y)，佔有平面區域D的平面薄片關於x軸、y軸、原點的轉動慣量計算模型為：
(2) 空間立體轉動慣量計算模型
體密度為μ=μ(x,y,z)，佔有空間立體區域Ω的立體關於x軸、y軸、z軸、原點心計算模型為：
16、物體對質點的引力積分模型
體密度為μ=μ(x,y,z)，佔有空間立體區域Ω的立體對位於(a,b,c)，質量為m的質點的引力在三個坐標軸方向分量的大小分別為
17、積分模型的計算模型
由於積分應用中構建的模型分別描述為面積微元dσ、體積微元dV、面積微元dS的描述形式，它們最終的計算在不同坐標系中對應於不同的變量微元描述形式，因此，對於這樣由面積、體積微元描述的形式我們稱之為積分模型；對於在不同坐標系中描述為變量微元的形式，如
的積分模型稱為計算模型。如：
另外如計算曲面面積直接得到的dxdy，dydz，dzdx積分描述形式計算公式。
【注】對於二重積分的面積元素dσ、三重積分的體積元素dV，曲面的面積元素dS的坐標變量描述形式不一定對應著兩個變量、三個變量的乘積描述，根據微元選取方式的不同，微元描述的變量個數可能會少於以上描述的個數，比如面積元素可能描述為一個變量微元形式，體積元素可能描述為兩個變量形式，甚至一個變量描述形式，這樣二重積分模型的計算就不一定需要計算兩次累次積分，三重積分模型的計算也不需要計算三個累次積分。
更詳細是說明與知識點及典型例題參見最後列出推薦閱讀列表：