【注】這裡指的不可積函數是原函數無法求解或者很難求解，或者原函數不能用初等函數描述的函數。
以下是學友「雲水」分享的一個典型定積分計算題，覺得有意思，所以在這裡發布，並補充相關思路與典型問題，以供大家參考！
對於定積分問題的求解，基本思路可以參考已經發布的文章，具體參見本文最下面列出的「相關閱讀」文章列表。
對於這類問題可以根據列出的不定積分與定積分的基本思考步驟，仔細體會計算過程中出現的表達式及形式變化。對於該題的計算，需要對三角運算公式比較熟練。將其整理得更清晰的思路如下：
第一步：被積函數分解兩個函數的乘積：
第二步：將其中容易構建原函數的函數與dx組合，構建微分，於是有
第三步：可以考慮分部積分法和換元法：
嘗試分部積分法，可以發現問題並不能簡化，於是嘗試換元法，即令d後面的函數為中間變量t，即令t=arctanx，從而有
於是有
第四步：對於新變量t求定積分，於是有
該問題後面部分類似於第一步的分部積分法，沒有特別有效的形式，因此考慮對tant拆分，於是有
對於這類問題，對於後面兩個部分，積分限相同，被積函數不同，並且被積函數中的三角函數為互餘函數關係，於是令第一個積分中的
於是做如下代換，並藉助積分對符號的無關性，有
即以上關於t積分的後面兩個積分結果為0，於是最終的結果就為
【注】對於這個問題採用通常的積分方法，通過分部積分法或者直接換元法轉換為求原函數的方法來計算定積分行不通，只有採取這種積分式變換的方法來得到問題的解。對於這類問題可以歸結為不可積函數求定積分問題，基本思路與方法差不多；最終都一般通過拆分積分項的方法轉換為原積分和一個數值，或者轉換為兩個可以互相消去的積分項和一個積分值來得到原積分的值。
類似的有如下幾個典型例題：
例1：計算
【參考解答】：令x=-t，則
於是
例2：計算
【參考答案】：令x = π/2 - t，dx = - dt，tan(π/2 - t) = cot(t)，於是有
類似也有如下原函數存在的定積分問題，最終也不需要求原函數步驟求定積分：
例3：計算
【參考解答】：
【注】對於該題，把以上積分限去掉，利用類似思路即可得到被積函數的不定積分！