「曲面面積和曲面積分」圖解高等數學下 第25節

2020-12-11 遇見數學

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13.5 曲面面積和曲面積分

計算曲面積分的技巧是要將其轉換成平面區域的二重積分.

曲面面積

觀察下圖曲面 S 以及它的垂直投影.

將所有小平面分割近似所有的小區面, 這樣就構成了曲面 S , 因此其和式就是曲面 S 面積的一個近似, 而不斷的細分 R 後, 即為下面二重積分的近似.

觀察下面小切面近似曲面的動畫:

曲面積分(Surface Integrals)

即第一類曲面積分, 利用上面計算曲面面積的思想:

定向(Orientation)

稱光滑曲面 S 可定向或是雙側的.

下圖的莫比烏斯帶不是可定向的. 當一個單位法向量移動一圈後, n 的方向剛好與出發方向相反.

曲面積分求通量(Surface Integral for Flux)

也就是第二類曲面積分. 假設曲面 S 在 F 向量場中, n 為曲面某點處的單位法向量, 則 F 沿正向穿過曲面的通量為 Fn 在 S 上的積分.

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