從積不出來的積分到「橢圓曲線」

2021-02-18 小朱的讀書筆記
1.橢圓積分及其加法公式

所謂橢圓積分，是指如下形式的積分

其中的

1718年，義大利數學家法尼亞諾在首先研究了雙紐線的弧長積分(2)的性質。他的推導大致如下：首先對積分(2)先進行換元變換

對這個換元變換式的兩邊關於變量

再用同樣方法，對上式右邊的積分繼續作另一換元變換

可得

現在合併(4)與(5)式，就可以得到法尼亞諾所發現的關於雙紐線弧長的加倍公式

雖然還沒有積出這個積分，但是這個給出了雙紐線弧長兩倍的重要等式很快引起了大數學家歐拉的注意。他在1753年進一步推廣得到了雙紐線弧長積分的新公式：

我們看到，雙紐線的弧長加倍公式(6)正是這個加法公式(7)當

上式即是我們所熟悉的三角公式

的積分表示形式。

加法公式(7)的證明也是運用了換元法，只是此時的換元計算比較複雜而已。由於受到雙紐線弧長加倍公式(6)的右邊積分上限

的啟發，對於積分(2)，考慮

其中的

將

從(8)知道當

所以當

設在此換元變換中，積分(2)的上限

最後再由(8)式中的等量關係知道，此時的

從而就得到了加法公式(7)。

歐拉不僅像這樣證明了加法公式(7)，還對更一般的橢圓積分推導出了加法公式：

他甚至還想把上式中根號內的多項式次數提高到5和6次的情形，但他發現此時這樣的等式不會成立。

18世紀末的數學家勒讓得在歐拉研究的基礎上，比較系統地研究了橢圓積分。他在這方面的主要功績是得到了橢圓積分的三種標準形式，使得其他所有各種橢圓積分都可以通過積分的換元變換化成這三種標準的形式。這樣，就像其他的一些常見特殊函數一樣，人們能夠製作出專門的數學用表來，供需要實際計算橢圓積分的人們查閱。

然而，數學家們是不會滿足於僅僅求出定積分值的，他們希望能夠找出隱藏在橢圓積分加法公式背後的東西。

2.阿貝爾積分

阿貝爾(N.H.Abel)是一位生活於19世紀初期的挪威數學家。他在歐拉研究橢圓積分的基礎上，朝著現代的代數曲線與黎曼曲面理論的方向，向前跨出了一大步。阿貝爾的重要思想是所謂的「阿貝爾和」的想法，也就是將前述的橢圓積分加法公式中「積分的和」的現象提煉出來，考慮能否用到若干個同類阿貝爾積分的和上。所謂阿貝爾積分，是比橢圓積分更廣的一類積分

其中的

的函數,這裡的各個函數

上述方程(12)所表示的曲線被稱為代數曲線。阿貝爾在1826年的一篇論文中考慮了(12)中的代數曲線

其中

下面我們用經典的阿貝爾定理來推導出歐拉的橢圓積分加法公式(10)，以說明阿貝爾定理其實是橢圓積分加法公式的推廣。對歐拉的橢圓積分

(其中

它們都經過了點(0,1)。此時，將

的根。去掉其中的一個零根

的根,因此有

從而得到，即有

再記

因此由(15)式可得

再由

將左邊因式分解後代入上式，得到

現在將阿貝爾定理(13)應用於這個橢圓積分，就可以得到

為了確定上式右邊的這個常數，我們在曲線

此時方程(14)就變成了

所以

這實際上就是橢圓積分加法公式(10)。就這樣，阿貝爾將歐拉的橢圓積分加法公式作了最大限度的推廣。

3.後續的發展

阿貝爾的另一個重要思想是反演，也就是求出橢圓積分所定義的函數的反函數來。例如在橢圓積分

中,可以考慮其反函數

阿貝爾所處的時代，正是複變函數理論誕生的年代。複變函數論被數學史家M.克萊因(M.Kline)稱為是19世紀最獨特的創造，他說：「這一最豐饒的數學分支，曾被稱為這個世紀的數學享受，它也曾被歡呼為抽象科學中最和諧的理論之一。」複變函數的微分與積分理論其實是18世紀發展起來的微積分理論的自然延伸。在19世紀初，柯西在研究計算二重積分的累次積分方法時，無意中發現了複變函數論中著名的柯西積分定理——全純(解析)函數在單連通區域邊界上的復積分總是為零，由此便得到了關於復積分和留數計算等一系列基本結果。人們發現，只有將實積分變成復積分，橢圓積分以及更一般的阿貝爾積分的性質才有可能得到完整的描述，所以從19世紀起，這些積分都是作為復積分來研究的。

當人們把上述（18）式中的實積分看成復積分時，就可以引入由黎曼創造的黎曼曲面理論的觀點，此時橢圓函數也成為了複變函數。在歷史上從幾何的角度來研究阿貝爾積分，首先是從黎曼開始的，他在1851年的一篇關於複變函數的奠基性論文中首次給出了黎曼曲面的概念。他認為複變函數不應只是定義在通常平直的(高斯)複平面上，而是應該定義在可以「拓展到許多葉」的曲面上。為此黎曼為每一個多值復變代數函數(它由橢圓積分中被積函數相關的代數曲線來確定)，都構造了一個曲面，用以代替通常的複平面，使得在這個新曲面上，原來多值的代數函數變成了容易處理的單值函數，這個曲面就是著名的黎曼曲面。（詳見Stillwell的《數學及其歷史》[2]）。而對任何一個緊緻黎曼曲面來說，都可以找到一個具有若干個「孔」的閉曲面模型：

圖2:閉曲面模型

這些孔的個數被稱為黎曼曲面的虧格，它是刻畫黎曼曲面拓撲性質的主要不變量。

從黎曼曲面的角度，可以理解在微積分中為什麼有的積分可以積出來，而有的卻不能，這個關鍵的原因就在於和積分相關的黎曼曲面的虧格是什麼。例如我們知道實積分

而上式右邊是一個對於有理函數的積分，它是可以積得出來的。

但是另一方面，對於橢圓積分

來說，事情就不是這樣了。這個積分同樣看成是

後來的數學家們又進一步形成了「橢圓曲線」（elliptic curve）的基本概念，注意這裡的「橢圓曲線」不是平面解析幾何中的橢圓，而是指一般數域上虧格為1的代數曲線。（18）式中的橢圓積分的性質就與由這個積分的被積函數分母根號中的3次多項式

的性質密切相關，例如橢圓積分的加法公式實際上就是與該橢圓積分相關的「橢圓曲線」上點的加法定律的一種外在表現，由這個點的加法定律可以自然地為每一條「橢圓曲線」都定義一個交換群，而這個群正是現代數論和代數幾何的重點研究對象，從中產生了大量的研究成果。例如在著名的費馬大定理的證明中，「橢圓曲線」就是一個最基本的工具，這是非常出乎人們意料之外的。

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