費馬大定理:從赫克代數到橢圓曲線,一部輝煌的數學史詩

2020-12-11 Alien老王

大約在1637年前後，法國數學家費馬在丟番圖的《算術》的第二卷關於畢達哥拉斯三元組的頁邊上，寫下了他認定的一段結論：「不可能將一個立方數寫成兩個立方數的和；或者將一個4次冪寫成兩個4次冪之和：或者，一般地說，不可能將一個高於2次的冪寫成兩個同次冪的和.」接著他又俏皮地寫下一個附加的評註：「我對此命題有一個十分美妙的證明，這裡空白太小，寫不下。」

費馬大定理you'piao

這就是說，費馬認為他證明了下面的結論：當n≥3時，不定方程

x+y=z …………(1)

沒有正整數解.上述的評註是在費馬死後五年的1670年發表的.事實上，人們遍尋費馬的手跡，並沒有發現這一「美妙的證明」，而只看到他對於n=4的情形，即下面定理1的證明，費馬對這一證明頗為得意，命名為「無窮下降」法，或許費馬認為用這種方法可以證明任意n≥3的情形.但事實遠不是那樣簡單.因此只能認為上述結論是費馬的一個猜想，後來很多數學家努力尋求這一結論的證明，以至除了它以外，費馬提出的所有猜想早已得到解決，所以人們常常稱它為FLT.這個困惑了世間智者358年的謎，終於在1994年，由-一個英國出生、在普林斯頓大學數學系工作的數學家安德魯.懷爾斯( Andrew Wiles)所證明，我們先看n是4的倍數的情形，

當4|n(整除符號，表示4整除n)時，(1)式可以把n拆成4×n/4

所以，若能證明n=4時，(1)式沒有正整數解，則對於能被4整除的任何正整數來說，(1)式沒有正整數解。

這種情況用反證法可以證明。

後來，歐拉使用代數整數環證明了3|n的情況，其中有一個漏洞由勒讓德(Legendre)補充。

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1825和1828年，n是5和7的倍數的情況被分別證明。

後來又出現了許多特殊情況的證明，不過都沒有實質性的進步。

1983年德國年青數學家法廷斯(Faltings)結合使用了蘇聯和美國哈佛兩個代數幾何學派的工作，證明了莫代爾猜想：如果有理係數的多項式方程Q(x,y) =0定義的曲線的虧格≥2,則此方程只有有限多個有理數解，法廷斯在證明上述結論時，使用了20世紀50年代以來發展的現代代數幾何工具.由於當n≥4時，(1)的虧格≥2,上述結論很容易推出：對於每一n≥4,(1)只有有限個整數解.這個結論與費馬大定理的要求還有很大的距離.但是人們感覺畢竟是從另外的角度向費馬大定理靠近，而且有希望從代數幾何方面獲得解決費馬大定理的有力工具.

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現在我們進人故事的最有興趣的部分，其中有很多值得我們體會和學習的東西.在德國黑森林州中部的名叫Oberwalfach的小鎮，多年來，這裡成為世界各地數學家的「旅遊區」，每年舉行幾十個由頂尖高手主持的、研討熱門數學問題的高級研討會，交流數學成果和思想.這裡沒有卡拉OK,私人房間裡沒有電視機，有的是黑板、圖書、計算機房間和供數學家交談的咖啡室.1984年秋，一群優秀的數論學家聚會，討論關於橢圓曲線的各種突破性工作.德國的數論學家弗雷(G. Frey)作講演：如果方程(1)(n=p的情形)有一組整數解(x,y,z) =(a,b,c),abc≠0,然後他在黑板上寫下一條橢圓曲線的方程

y=x(x-c^p)(x+b^p)

後來這條方程被稱為弗雷曲線，並推出如果這條曲線不滿足谷山-志村-韋依猜想（簡稱TSW），即如果費馬大定理不成立，那麼TSW也不成立，那麼反過來，就可以用TSW猜想來推出費馬大定理。

1988年，報紙聲稱東京大學38歲的宮岡洋證出了費馬大定理。不過也像過去一樣，被發現巨大邏輯漏洞。

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1990年，懷爾斯開始試圖通過研究巖澤理論來尋找突破口，只過了一年，他就放棄了。後來，有個老師告訴他一個名叫弗萊切的學生運用科利瓦金的方法研究橢圓曲線，懷爾斯感覺勝利在望，懷爾斯甚至為研究生開了一個課程（苦了那群研究生），幾個星期後，這個課程因為太繁瑣難懂，研究生一個個地離開了，同事凱茲成了唯一聽眾，不過這正是他的目的-保密。1993年，他確信這種方法是可行的。並在6月安排了演講，演講中他隻字不提費馬大定理，而是在最後說「這樣我就證明了TSW猜想」，在場的所有人都知道證明了TSW，就證明了費馬大定理。歡呼過後，開始了嚴格的審查。然而在8月份，凱茲發現了一個錯誤，並且無法補救，12月，他只好發電子郵件說「發現了問題」。

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1994年8月懷爾斯與菲爾茲獎無緣，但是仍被邀請在閉幕式上作最後一個報告，他坦誠地介紹了自己工作到什麼程度，給了他不少安慰。

然而就在會後不就，他突然冒出一個想法，將放棄的巖澤理論與科利瓦金方法結合起來，證明到最後就歸納成一個純代數問題：關於Hecke環的完全交性質。最後的關口是他和泰勒一起完成。

1995年，他們發表了兩篇文章《模橢圓曲線和費馬大定理》以及《某些Hecke代數的環論性質》，費馬大定理正式獲得證明，1996年，懷爾斯，朗蘭茲共同獲得菲爾茲數學獎，在費馬大定理獲得證明的4年後，TSW猜想獲得證明。

回顧費馬大定理獲得證明的歷程，除了解決這一著名的猜想以外，至少有以下幾點值得關注，(1)一個難題的解決常常需要創造新的方法，而這就推動了數學的發展，甚至後者比解決難題本身更重要.(2)數學具有統一性，表面上看來不同的對象，有時蘊含著深刻的聯繫，因此學科之間的交叉是重要的，而且值得重視.(3)在獨自深人鑽研的基礎上的學術交流是至關重要的，常常是創新思想的產生或解決難點的催產素.為此創造良好的交流環境同樣是十分重要的

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    —費馬大定理。……小先生就來講講費馬最後的定理——費馬大定理                   我們熟知的費馬做過很多數學上的貢獻，但其實，他的主業是一名律師，而數學家只是他的業餘身份，他也因此獲得了「業餘數學家之王」的稱號。    下面讓我們通過一個遊戲來了解一下他對概率論的貢獻吧：    假設有兩個賭徒，每一局中他倆贏的機會相等。
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  • 《費馬大定理》
    本書聚焦「一個困惑了世間智者358年的謎」——費馬大定理。在安德魯·懷爾斯證明其成立，使得費馬猜想真正成為費馬大定理之前，無數數學家為證明這一猜想不懈努力，這一簡單的定理是如何提出的，數學界為證明這一定理做了哪些努力，安德魯是如何證明其成立的，了解一個定理誕生的過程，或許我們會驚嘆，數學真是神奇！
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    如果要用一個定理涵蓋整個數學發展史，那麼肯定非「費馬大定理」莫屬，從1637年誕生，到1993年懷爾斯將它攻克，整整用了356年的時間，而在這其中，無數數學家前赴後繼，耗盡人類眾多最傑出大腦的精力，就連歐拉、高斯都未能將他全部攻克。對於費馬大定理的證明工作可以說就是一部活生生的數學發展史。
  • 大話費馬大定理
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  • 費馬大定理是怎麼證明的
    可是有多少人知道最新的數學成就呢？恐怕很難很難。數學隔行都難以溝通，更何況一般人呢。正因為如此，99%的數學很難普及，成百上千的基本概念就讓人不知所云，一些當前的熱門，如量子群、非交換幾何、橢圓上同調，聽起來就讓人發暈。幸好，還有1%的數學還能對普通的人說清楚，費馬大定理就是其中的一個。　　　　費馬大定理在世界上引起的興趣就正如哥德巴赫猜想在中國引起的熱潮差不多。
  • 費馬大定理:一部跨時代的驚險小說
    懸案費馬大定理本身從提出到證明的過程，就是一部不折不扣的驚險小說。一個讀者，在自己讀過的書的空白處留下附註。除了他自己之外，還有誰會關注呢？
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    這也就是著名的費馬大定理，又被稱為「費馬最後的定理」。300多年來，無數的數學家接力嘗試，要去解決這個難題，卻都徒勞無功。這個號稱世紀難題的「費馬最後定理」也就成了數學界的心頭病，極欲解之而後快。甚至到了1908年，哥廷根皇家科學協會還公布了沃爾夫斯凱爾獎：凡在2007年9月13日前解決費馬大定理者，將獲得10萬馬克獎勵。
  • 懷爾斯用新方法證明了費馬大定理,數學界認為費馬本人都未曾證明
    切入口 —— 谷山-志村猜想 懷爾斯在10歲時第一次接觸到費馬大定理。像許多擁有數學夢的孩子一樣，他幻想著能夠解決它。但是在劍橋攻讀博士期間，懷爾斯 聽從導師的建議，選擇避開那條可能的死胡同。另一方面，他轉而學習在密碼學中非常有用的橢圓曲線。橢圓曲線的圖看起來就像甜甜圈的表面。
  • 從積不出來的積分到「橢圓曲線」
    上面的積分(1)和(2)都屬於橢圓積分。在歷史上，「橢圓積分」這個名稱就是從上述求橢圓曲線、雙紐線等曲線的弧長問題時所產生的積分(1)和(2)而來的。可以證明，橢圓積分的被積函數分母根號中的4次多項式可以經過適當的換元變成3次多項式的形式，反過來，3次多項式也可以變成4次多項式的形式（見[2]）。
  • 一個文科生講費馬大定理的前世今生
    費馬大定理如果這樣一個一個地證明下去，哪天是個頭呢？在歐拉之後又過了將近 100年，人類證明了在 5和7的情況下費馬大定理是成立的。到了 1955年，又證明了在 4002次方以下，所有的正整數裡，費馬大定理是成立的。到了 1985年的時候，我們已經可以藉助計算機技術證明， 4100萬次方以下的所有的正整數，費馬大定理都是成立的。但又如何呢？