阿貝爾積分方程

2022-01-02 數學與通識

挪威的短命天才數學家阿貝爾(1802 - 1829)大概是數學史上第一個認真考慮如何求解一個積分方程的數學家。考慮到積分方程的完整理論大概是到了二十世紀初的時候才由Vito Volterra(3 May 1860 – 11 October 1940)提出，而且這些理論還是建立在泛函分析的基礎上，所以阿貝爾的成就愈加顯得引人注目。阿貝爾最著名的成就大概是在橢圓函數和代數上。代數上指的是阿貝爾第一個證明了一個一般的五次方程沒有根式解。更具普適性的結果，就是五次及以上的方程沒有根式解，要等到另一個短命天才數學家伽羅瓦去證明。這裡不去探討阿貝爾在橢圓函數和代數上的成就，而只回顧一下阿貝爾在積分方程方面的貢獻。

假設一個初始速度為零的質點沿著一條光滑的曲線在重力場中下落。該質點在重力場中下落高度為h . 如果曲線的形狀已知，那麼我們就可以用微積分的方法計算出質點沿著該曲線下降高度h所需的時間 T(h) . 阿貝爾考慮的是這個問題的反問題：已知質點下降高度 h 所需的時間是 T(h)，問如何確定這條曲線的形狀？

積分方程很多時候就是為了求解反問題。例如，如果一個函數的傅立葉變換是已知的，如何去計算這個原函數？這就是一個反問題。後來的積分方程理論也是在計算反問題。積分方程通常都會有一個核函數。有很大一類積分方程的問題是，已經知道了一個函數跟核函數的卷積，如何求出這個函數。如果用現代數學的語言來描述，這就相當於已知一個算子作用在一個函數上的結果，如何求出這個原函數。答案就是求出這個核函數或者算子的逆，把這個逆作用在已知的結果上，就得到了那個原函數。這個思路跟線性代數解方程求逆矩陣很像，於是就可以把函數類比做矢量，核函數或者算子類比做矩陣，卷積類比做矩陣與矢量的乘法。這裡只是一個粗糙的類比。這種類比一旦嚴格化(例如如何計算一個函數的長度，或者叫範數，如何計算一個算子的逆，如何定義兩個函數的夾角，如何計算函數的投影，如何對函數做正交基展開，如何保證求積分的時候不發散), 泛函分析就出現了。

說了一些題外話， 這裡重新回到阿貝爾的問題。為了求解這個問題，首先我們要把問題數學化。為此，我們首先要建立一個坐標系。假設這條曲線沒有 kink，也就是對於任意一個縱坐標 y ，我們有唯一的一個橫坐標 x . 於是這條未知的曲線就可以用一個方程來描述為:x=f(y)

我們要計算質點沿著這條曲線下降高度 h 所需時間。取質點最終的高度為零，於是初始時刻質點的縱坐標為 , 最終質點的縱坐標為 . 期間任意時刻質點的縱坐標為 . 根據能量守恆定律，質點的縱坐標為 y 時它的速率為 .

根據速率的定義(注意 ，因為質點一直在下落)

 ,

所以可以得到時間微分為

於是質點沿著曲線 x=f(y) 從高度為 h 降到高度為零所需的總時間為

 .

這是一個關於未知曲線 x=f(y) 的積分方程。為了方便，可以定義一個函數

於是阿貝爾積分方程可以寫作

這顯然是拉普拉斯變換的卷積。可以將 理解為積分方程的核函數或者算子，核函數與未知函數 的卷積理解為算子與矢量的乘法。為了求解這個方程，我們需要做拉普拉斯變換:

已知冪函數的拉普拉斯變換為 ，於是有或者

這裡相當於是對函數 求了 次微分。所以阿貝爾積分方程跟非整數階微積分有著密切的聯繫。

例子：等時曲線

如果質點的下落時間不依賴於下落高度，那麼該曲線就是等時曲線。令 . 該函數的拉普拉斯變換為 . 於是 . 求逆變換得到

根據定義，，

所以.

因為 ，同時可以規定 , 也就是規定質點向右下滑落，那麼可以得到

解得

這是一條擺線.

相關焦點

  • 阿貝爾
    雖然如此，1821年阿貝爾透過霍姆彪的補助，仍可進入奧斯陸的克裡斯蒂安尼亞大學（University of Christinania），即奧斯陸大學（Universitetet i Oslo）就讀，於1822年獲大學預頒學位，並由霍姆彪的資助下繼續學業。在學校裡，他幾乎全是自學，同時花大量時間作研究。
  • 阿貝爾的榮耀
    克列爾是個土木工程師，而且對數學很有熱誠，他跟阿貝爾成為很要好的朋友。1826年，在阿貝爾的鼓勵下，克列爾創立了一份純數學和應用數學雜誌（Journal für die reine und angewandte Mathematik），該雜誌的第一期便刊登了阿貝爾在五次方程的工作成果，另外還有方程理論、泛函方程及理論力學等的論文。
  • 才華橫溢的阿貝爾
    他最著名的一個結果是首次完整給出了高於四次的一般代數方程沒有一般形式的代數解的證明。這個問題是他那時最著名的未解決問題之一，懸疑達250多年。他也是橢圓函數領域的開拓者，阿貝爾函數的發現者。儘管阿貝爾成就極高，卻在生前沒有得到認可，他的生活非常貧困，去世時只有27歲。 1823年當阿貝爾的第一篇論文發表後，他的朋友便力請挪威政府資助他到德國及法國進修。
  • 阿貝爾《傳》
    因此，為慎重起見，他建議阿貝爾用一些實際的例子來檢驗自己的理論。實踐是檢驗真理的標準，數學上也是這樣。德根回信向漢斯廷說明，即使最終判明阿貝爾的結果是錯的，他的研究也表明，他是一個富有數學才能的人。他建議阿貝爾花功夫去研究一個稱為橢圓積分的難題，它是在計算橢圓的弧長和分析單擺運動中發現的一類積分問題。
  • 數學家阿貝爾的故事(二)
    大家紛紛慷慨解囊，從各自的薪金中抽出一點錢來扶持這個貧窮的學生。當時的教授們和他們的祖國一樣，也都窮得可憐。不過，錢雖少，他們的情誼使阿貝爾永生難忘。當時的大學沒有獎學金，但是有免費的宿舍供窮苦的學生居住。阿貝爾得到特許，讓他的弟弟和他同住在這樣的宿舍裡。阿貝爾很清楚，他是在老師和朋友們的支持下上大學的。他只有格外努力學習，來報答師友。
  • 數學天才阿貝爾的生前身後名
    阿貝爾的名字與近代數學中的許多概念和定理聯繫在一起，例如阿貝爾函數、阿貝爾級數、阿貝爾積分、阿貝爾積分方程、阿貝爾群、阿貝爾部分和公式、阿貝爾基本定理、阿貝爾極限定理、阿貝爾可和性等等，歷史上只有很少幾位數學家能與之比肩。然而阿貝爾短暫的一生與他做出的卓越成果、生前的貧困潦倒與身後的備極哀榮形成了巨大的反差，他的故事令人長久嘆息。
  • 阿貝爾定理
    定理定義編輯這個公式公布不到兩年，卡當的學生費拉裡就找到了四次方程的求根公式。當時數學家們非常樂觀，以為馬上就可以寫出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，時光流逝了幾百年，誰也找不出這樣的求根公式。
  • 挪威數學家阿貝爾,因科學權威壓制,其重要論文15年後才得以發表
    1824年，23歲的阿貝爾便第一次做出五次方程代數解法不可能存在的數學證明，一舉解決了300多年的數學難題；但後來他關於高等函數的重要論文卻因為其他科學權威的壓制，15年以後才由他人代為發表，其個人科學生涯的遭遇反映了科學權威失誤的嚴酷性。在今天的數學界，阿貝爾這個名字是數學家們十分熟悉的。
  • 從積不出來的積分到「橢圓曲線」
    然而，數學家們是不會滿足於僅僅求出定積分值的，他們希望能夠找出隱藏在橢圓積分加法公式背後的東西。2.阿貝爾積分 阿貝爾(N.H.Abel)是一位生活於19世紀初期的挪威數學家。他在歐拉研究橢圓積分的基礎上，朝著現代的代數曲線與黎曼曲面理論的方向，向前跨出了一大步。
  • 解五次方程,竟然要靠蒙?
    「得了得了，你再叨叨下去，就中考了，有時間趕緊預習第二章，一元二次方程多重要啊！」一旁的阿坤說。小天，「一塊錢兩次方程嗎？哈哈哈，一塊錢一次方程我都學過，現在更便宜了，我還怕它？」「考場上蒙題，我最在行哈哈哈」阿貝爾的這篇論文，證明了五次方程沒有一般解，只可惜當時沒有引起人們的重視，也許是時運不濟，後來的他在數學上突破發現從未間斷，卻未能獲得世人的認可，即便遭受如此不公的對待，阿貝爾對於數學的初心從未改變。
  • 數學教育定理-阿貝爾定理
    性質3若冪級數的收斂半徑,則它的和函數由0 到x 可積，且可逐項積分，即性質4若冪級數的收斂半徑,則它的和函數在區間可導，且可逐項微分阿貝爾與橢圓函數橢圓函數是從橢圓積分來的。早在18世紀，從研究物理、天文、幾何學的許多問題中經常導出一些不能用初等函數表示的積分，這些積分與計算橢圓弧長的積分往往具有某種形式上的共同性，橢圓積分就是如此得名的。19世紀初，橢圓積分方面的權威是法國科學院的耆宿、德高望重的勒讓得（A.M.Legen-dre，1752－1833）。
  • 計算共形幾何講義:阿貝爾定理
    阿貝爾（Niels Henrik Abel）是挪威的驕傲，但個人際遇卻極度悽慘，堪稱數學界的梵谷。從某種角度而言，阿貝爾是幸運的，他在少年時代遇到了恩師霍姆伯（Holmboe）。霍姆伯洞察到阿貝爾的數學天賦，引導他學習了牛頓、歐拉、拉格朗日和高斯的原著，後來無私資助阿貝爾遊學歐洲，拜訪名家，在阿貝爾去世後，收集整理他的數學工作，使其光輝的思想得以留存於世。
  • 細說數學界的最高榮譽之阿貝爾數學獎
    數學家的資料——極客數學幫今天來給大家說說數學界的最高榮譽之一的阿貝爾數學獎，阿貝爾是一位令人惋惜的數學天才，為了紀念他，挪威設立了阿貝爾數學獎。一起來了解下這個被稱為數學界最高榮譽之一的獎項吧。阿貝爾尼爾斯·亨利克·阿貝爾(1802年8月5日-1829年4月6日)，挪威數學家，在很多數學領域做出了開創性的工作。他最著名的一個結果是首次完整給出了高於四次的一般代數方程沒有一般形式的代數解的證明。
  • 誰是阿貝爾?宇哥憑什麼欠他的兩塊錢?
    有人說，天才的命途多是伴隨著坎坷的，這句話視乎是阿貝爾一生的真實寫照。1820年正當阿貝爾進入高等數學的研究領域，準備一展才華的時候，他的家庭突遭不幸。其父親罹患重病，不幸離開人世，大哥精神失常。雙重打擊之下，以至於家人離散，照顧一家7口的生活重擔也落到了他的肩上。
  • 伽羅瓦,高斯,阿貝爾,這三人誰的數學天賦最高?
    他還深入研究複變函數，建立了一些基本概念發現了著名的柯西積分定理。當然他還有很多卓絕的成就，不過只看天賦的話，他也是最頂尖的一批數學家了。阿貝爾尼爾斯·亨利克·阿貝爾（1802年8月5日－1829年4月6日），挪威數學家，在很多數學領域做出了開創性的工作。
  • 數學史20大數學家之—阿貝爾和伽羅瓦,頭角崢嶸之際便與世長辭
    今天我們就來聊聊這樣的兩位英年早逝的數學家——阿貝爾和伽羅瓦。伽羅瓦第一位：尼爾斯阿貝爾，這位挪威的數學家是第一個發現了一般的5次方程的沒有求根公式的人。要知道當年義大利數學家魯菲尼論述一元五次方程求解的文章可有500頁之多。他還提出了橢圓函數中那個著名的阿貝爾方程式。阿貝爾與伯努利類似祖上都是商人，也曾富甲一方，可惜家道中落。不過阿貝爾還是順利地從大學畢業，而且在數學方面表現突出。地處北歐的挪威，位於當時學術研究中心法德輻射圈的外沿。阿貝爾打算出國求學，但這卻成了他人生的轉折點。
  • 無法解出的方程
    一些歷史學家推測，或許是為了保護民眾不受到這些騙子的傷害，盡責的古代數學家們將二次方程及其解法公之於眾。比如在一塊楔形文字泥板上就有這樣的問題「我從我的正方形面積中減去邊長得870。」即二次方程x2-x＝870。在泥板上，數學家們列出了詳細的解法。    還記得中學學到的那個咒語般的公式解法嗎？
  • 科學家提出隨機微分方程積分新方法
    近年來，上海交通大學系統生物醫學研究院和計算機系的聯合小組致力於研究一種全新的對隨機微分方程進行積分的方法，這種積分方法是在生物問題的啟發下提出的。
  • 從「一元五次方程」到「群論」的艱辛歷程,那是一首悲壯的史詩
    回顧人類文明持續向前發展的每一步，充滿了艱辛與坎坷，特別是從「一元五次方程」到「群論」的歷程，更是一個偶然加必然的意外收穫，無數的數學家為此付出了畢生的精力與心血，年輕的數學家阿貝爾與伽羅瓦在追尋真理的路上英年早逝，為此所作出的重要貢獻，是人類文明進程中最為悲壯的史詩，在歲月的長河中迴響不絕，這到底是怎樣一個令人感慨的故事呢？
  • 這個方程令無數的數學家為之痴迷,還促使了偉大的「群論」誕生
    在之後的近三百年裡，無數的數學家沉迷於「五次方程」的破解，成了數學界最迷人的挑戰之一，但一直沒有人獲得成功。1770 年，拉格朗日發表了《關於代數方程解的思考》，他討論了人們所熟知的解二、三、四次方程的一切方法，並且指出「這些成功解法」無法解出五次以及更高次的方程。