從翻折、旋轉、平移三大變換角度，解析幾何動態與非動態問題

2020-09-03 程老師中學數理化

【導入】「一線三直角」（K字型）

通過動圖看解析：

如果直線MN繞著點C旋轉一周（0°＜α＜360°），我們可以得到以下六種情況：

【重點】「一線三等角」模型

原題再現：


在解題過程中挖掘出基本圖形或通過做輔助線構造出模型，隱藏多餘的線條，達到化繁到簡的轉變。

[提煉分類一]基本模型:分為全等和相似兩類，

下圖以銳角60°，直角90°，鈍角120°為例；

全等時△ABC分別為：等邊三角形，等腰直角三角形，等腰三角形；

△ABE與△CAD全等

一線三等角：兩個等角的一邊在同一條直線上，若有第三個與之相等的角，它的頂點也在該直線上，角的兩邊分別與兩等角的非共線邊相交，可得一組相似三角形

△ABE與△CAD相似

[提煉分類二]還可分為同側或者異側，

下面以全等情況為例，△ABD≌△CAE，

展示異側以銳角60°，直角90°，鈍角120°為例的圖形。

【解析】以正方形為例進行探究

方法一：截長補短，證明全等

方法二：「一線三直角」，轉化三角形的對應邊相等，再套入模型

方法三：勾股定理推出AM與EN的關係，再套入模型

方法四：輔助圓，證明等腰直角三角形

方法五：建立平面直角坐標系，藉助「斜率負倒數」

方法六：摺疊-對稱的角度1

方法七：摺疊-對稱的角度2

方法八：旋轉的角度，點A為旋轉中心1

方法九：旋轉的角度，點A為旋轉中心2

方法十：旋轉的角度，點M為旋轉中心

方法十一和十二：旋轉的角度，點D為旋轉中心

方法十三和十四：旋轉的角度，點B為旋轉中心

方法十五和十六：旋轉的角度，點M為旋轉中心

通過上述方法的探究，我們不難發現，藉助平行四邊形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、勾股定理以及函數思想，&34;模型你學會了嗎？

【課後練習】這道例題也是八年級我們常見的證明題。

相關焦點

  • 初中數學專題:幾何圖形的變換經典題型(平移、旋轉、翻折)
    解題思路：幾何圖形問題的解決，主要藉助於基本圖形的性質（定義、定理等）和圖形之間的關係(平行、全等、相似等）.基本圖形的許多性質都源於這個圖形本身的「變換特徵」，最為重要和最為常用的圖形關係「全等三角形」極多的情況也同樣具有
  • 【OpenCV+Python】圖像縮放旋轉平移與幾何變換
    但是問題來了，cv2.resize這個API卻是個小例外。因為它的參數輸入卻是 寬×高×顏色通道。▼ 旋轉OpenCV中對圖像的旋轉主要是先通過getRotationMatrix2D函數得到圖像的旋轉矩陣，然後再通過仿射變換函數warpAffine得到旋轉後的圖像。
  • 初中數學:圖形變換問題的解讀與訓練
    常見類型有：（1）平移變換問題；（2）軸對稱變換問題；（3）旋轉變換問題。（3）旋轉變換問題：旋轉是圖形的一種重要變換分。幾何圖形旋轉變換和函數圖像旋轉變換．在實際解題中，若我們能恰當地運用圖形的旋轉變換，往往能起到集中條件、開闊思路、化難為易的效果．圖形的旋轉變換，既要藉助於推理，但更要藉助於直覺和觀察，變換的意識與變換的視角，會使這種直覺更敏銳，使這種觀察更具眼力．
  • 平方差公式的幾何背景不好理解?手把手教你做一個動態課件!
    平方差公式的幾何背景課本上其實是有圖的，但是靜態圖片總是沒有動態課件來的直觀，今天就來說一說如何利用幾何畫板來製作平方差公式的動態課件。成品圖小長方形是活動的，可以動態顯示長方形變正方形或正方形變長方形的過程，圖的大小也可以通過調節a、b的值來任意調整。
  • 中考壓軸題之幾何變換的多解問題,搶分秘籍
    幾何變換問題是近幾年每年必考的壓軸類試題，它多以三角形、四邊形為載體，結合平移、旋轉、翻折、相似等變換，集中考查學生對幾何知識的綜合掌握情況．試題的設問往往是由小到大、由易到難，在應用勾股定理、三角形全等、三角形相似、特殊四邊形的判定及性質的過程中，通過逐步探索新知的方式解答問題．此類問題注重對探索、創新能力的考查，是近年來中考命題的新趨勢．尤其是幾何變換的多解壓軸題
  • 函數圖像的幾何變換
    題型有二：一是給函數解析式，指出函數圖像，多以選擇題的形式出現；二是由函數，畫出函數圖像或者示意圖，利用形數結合法解題，其中常用到幾種常見函數的圖像變化。2. 高中常見的函數幾何圖象變換有4種：平移、對稱、局部翻折、伸縮變換等。平常做題時，儘量根據函數性質和幾何變換，畫出函數圖像，以便數形結合、直觀明了。
  • 高中函數圖像及其平移與變換
    ； （3）函數 y = - f（-x）的圖像可以將函數 y = f（x）的圖像關於原點對稱即可得到； 3 翻折變換 （1）函數 y =｜ f（x）｜的圖像可以將函數 y = f（x）的圖像的
  • 詳解幾何畫板製作圖形平移動畫的技巧
    幾何畫板中如何製作圖形的平移_幾何畫板製作圖形的平移動畫_如何用幾何畫板製作圖形平移 　　幾何學是一門抽象的學科，在講解幾何知識時，如果單單依靠黑板畫圖給學生們講解，而沒有動態呈現出圖形變換過程，這樣對學生的理解是有困難的。
  • 【考試秘笈】幾何解題神器—網格紙&透明墊板
    ；以上跟大家開個玩笑，大名鼎鼎的「透明墊板」豈止這兩個用途，下面言歸正傳：大家都知道，在教學過程中，遇到圖形運動類問題時，如平移、旋轉、翻折等，最大的難處在於「畫圖」，很多問題只要圖形畫正確，那就成功了一半，平時教學我們有幾何畫板幫助學生分析
  • 自製動態貼圖的使用教程!
    動態貼圖插件（Magic Decal）的使用目錄動態貼圖插件（Magic Decal）的使用Magic
  • 立體幾何中與長度有關的動態最值問題選題解析
    立體幾何中的最值問題常以哪些思路進行分析？既然有最值，則就有未知的數值，這種數值若從函數角度分析可能是某條未知的線段，某個未知的角度，若從幾何的角度分析，可能是某個點的特定位置，或類似於螞蟻爬盒子之類的兩點之間直線最短，又或者是兩條異面直線最短距離的公垂線等等，動態最值問題是立體幾何中綜合性和難度較強的一類問題，與此類似的是動態定值問題，這個以後再說，常見的題型如下：1.距離或線段長的最值
  • 助力中考數學:關於《翻折,旋轉》的幾何壓軸小題選講
    而「手拉手」旋轉問題的結論就是「手拉手得到相似」：△BAG∽△BCE(理由簡證：SAS)如下就可以稍微動筆，口算完成本題！具體的簡單說明一下：△BAG∽△BCE相似得到圖中兩處角β相等，繼而得到：∠CEF=∠DAG=α。
  • 初中數學幾何模型及構造解析
    全等變換　　平移：平行等線段(平行四邊形)　　對稱：角平分線或垂直或半角　　說明：上圖依次是45°、30°、22.5°、15°及有一個角是30°直角三角形的對稱(翻折)，翻折成正方形或者等腰直角三角形、等邊三角形、對稱全等。
  • 初二計算天天練,平面直角坐標系,點的平移、旋轉與對稱
    初二上學期，勾股定理的應用，面積問題、幾何問題、同條線段應用初二上學期，一次函數實際應用題，八種題型三大難題本篇文章接著介紹坐標軸上，點的平移、旋轉與對稱，圖形的平移、旋轉與對稱是初中很重要的三大變換，在平面直角坐標系中也需要掌握點的這些變換特徵。
  • 用好數學工具——幾何畫板,輕鬆作出複雜幾何圖形
    「幾何畫板教程」作一個角等於已知角，講解標記角度和旋轉命令幾何畫板學起來比較容易、操作簡單，而且幾何畫板具有動態交互性、簡單實用性以及強大的作圖、動畫等功能，能有效地輔助數學教學，大大提高學生的學習興趣和積極性，可有效提高教學效果。
  • 二次函數中的動態問題
    #初中數學學習#本單元的重點主題是二次函數的動態問題綜合題，這類題往往結合考查三角形的性質、三角形全等和相似的性質和判定、平行線的判定、兩函數的交點問題、翻折變換、利用待定係數法求函數的解析式、圓、一次函數與反比例函數等知識，比較複雜，計算量大，尤其是最後的問題，往往需要利用數形結合的思想，加深對題目理解能力的訓練，才有助於解決問題。
  • 幾何圖形旋轉:圖形與變換
    圖形與變換是新課標的重要內容，它既有利於考查學生的動手操作能力和空間思維能力，又培養了學生的創新意識和綜合運用知識的能力，因此成為近年來 命題的熱點。 旋轉是圖形之間的一種主要變換，可以將直線、角、三角形、四邊形甚至圓等各種幾何圖形旋轉。
  • 讓你永遠忘不了的傅立葉變換解析
    使用聯想鏈條和幾何直觀，輔以從實際需求衍生概念的思考模式，詳解什麼是傅立葉變換，為什麼要做傅立葉變換等，幫助記憶和理解，目的當然是標題所說：讓你永遠忘不了傅立葉變換這個公式。另，這篇博客還從側面一定程度上回答了另一個問題：為什麼要研究複數。
  • 中考數學壓軸專題三,每天一題,帶你學習幾何變換的解題技巧
    中考數學壓軸題十之八九都會考動態問題，但在不少學生只偏重動點問題。其實幾何圖形的旋轉、平移和摺疊也是中考壓軸題常考的類型。就比如2018年江蘇省徐州市中考數學的壓軸題就是三角形的摺疊問題，下面我們就來解析下這道題，希望能幫助大家提煉解題技巧。
  • 初一《三角形》題型全解3:三角形全等概念的運用之幾何變換
    歡迎來到百家號「米粉老師說數學」，初二數學中的幾何變換題，不管是對稱、平移還是旋轉，解決題目時都需要運動到對稱性質、平移性質或旋轉性質，而這些性質中最核心的知識落著點，就是三角形的全等：因幾何變換前後的圖形會全等，才會有諸多的性質，今天就來說一說這些性質的基礎：三角形全等的概念及運用。