《數學證明》讀後感

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《數學證明》讀後感

作者：盧沛東

作品編號：020

投稿時間：2020.7.26

《數學證明》封面圖

對於我一個學生來說，數學有時是十分困難的，但是有些時候認真思考，仔細解題。就會體會到一種峰迴路轉的美感。

前幾天，我讀了一本數學方面的好書《數學證明》。這本書圍繞數學證明的方法，歷史和作用展開。像這本書的第八章《存在性證明》，這一章介紹了存在性證明的歷史等內容。這一章並沒有直接說存在性證明的相關內容，而是用了一個事例，也就是我比較熟悉的抽屜原理作為開始。抽屜原理是一組在中小學奧數中應用很廣泛的，經常被用於進行存在性證明。我看到這條之後就想起了它之前在學習中帶給我的那種「山窮水復疑無路，柳暗花明又一村」的那種令人感到茅塞頓開的美。

（第一抽屜原理：原理1：把多於n+1個的物體放到n個抽屜裡，則至少有一個抽屜裡的東西不少於兩件。 證明（反證法）：如果每個抽屜至多只能放進一個物體，那麼物體的總數至多是n×1，而不是題設的n+k(k≥1)，故不可能。原理2：把多於mn(m乘n)+1（n不為0）個的物體放到n個抽屜裡，則至少有一個抽屜裡有不少於（m+1）的物體 。證明（反證法）：若每個抽屜至多放進m個物體,那麼n個抽屜至多放進mn個物體,與題設不符，故不可能。原理3：把無窮多件物體放入n個抽屜，則至少有一個抽屜裡 有無窮個物體。證明：設有限集合A-A_n均含有p個元素，其中每個元素都對應無限集合B中的一個元素，那麼∵A-A_n均為有限集，且n≠∞，p≠∞∴全集A為A∪A∪….∪A_n也為有限集，又∵A與B之間的元素有一一對應關係∴A與B等大，有窮等於無窮∴假設不成立，得證。第二抽屜原理：把（mn－1）個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有（m-1）個物體。上面是我從搜狗百科上面查到「抽屜原理」詞條，第三個證明是我自己寫的，可能有問題）

書上原文是這樣敘述的：把多於n件東西放在n個抽屜裡，其中必有一個抽屜盛超過兩件東西。這個敘述讀起來比較容易理解。同時還有一個證明香港必有兩個頭髮根數相同的人的事例來幫助理解：在寫這本書時香港一共有約600萬居民。而人的頭髮至多有20萬，遠小於600萬，所以一定有頭髮根數相同的兩人。

這個定理在做某些題的時候有很大用處，能夠大大減小分析量。我第一次聽說這個定理是在小學四年級的時候。上數奧課時老師提了一下這個定理。這定理在小學的數奧題裡就曾出現，在現在的數奧題裡依然出現頻繁。就比如這道題吧，這是一道數奧作業題，題目是這樣的。證明任意5個正整數中，必有兩個數的平方差是7的倍數。我當時看到題目之後沒有頭緒，就設了這5個正整數為a，a，a，a，a₅想利用平方差來因式分解。因為這5個數之間沒有什麼聯繫，所以分類討論變的極為複雜。這道題利用抽屜原理可以快速得解：正整數模7有七種情況：0，1，2，3，4，5，6平方模7隻有這幾種情況：0，1，2，4。這就是我第一次卡住的地方，當時想了好久也思考不出答案。這道題利用抽屜原理，就可以較快速的分析，進而得到答案：5個物品放入4個抽屜，因為5大於4，所以必有一個抽屜裡有至少兩個物品。所以必有兩數平方模同餘。根據同餘運算的冪性質，兩數平方依然同餘，所以在抽屜裡抽取同餘兩數，其平方差模7餘0。得證，這個證明很好的利用了抽屜原理，做題時減小了分析量，加快了做題速度。讓人有茅塞頓開之感。

數學有時十分困難。但是有時候細心思考，認真解答，就會感受到那種令人感覺茅塞頓開「柳暗花明又一村」那種美感。