如果你問蘋果手機上的Siri，「零除以零等於多少」，它會顯示：
但是，英文版的Siri還會用語音說這一段話：
「假如你有0塊餅乾，要分給0個朋友，每個人能分到幾塊？你看，這個問題沒有任何意義吧？甜餅怪會難過，因為沒有餅乾吃，而你也會難過，因為你一個朋友都沒有。」
拋開這個傷人的回答不論（有朋友誰會跟你Siri聊天啊！），除以零確實是個困擾很多人的問題。
十除以二等於五，六除以三等於二，一除以零是多少？
小學數學就會告訴你，答案是不能除。但是為什麼？零也是個數字，它到底哪裡特殊了？
小學算術裡，這個問題很簡單。那時我們把除法定義成「把一個東西分成幾份」，分成一二三四五六七份都很容易想像，但是你要怎麼把10個餅乾分給0個人呢？想像不出來！所以不能除。
敏銳的同學可能會想到，要是0個餅乾分給0個人的話，本來無一物，好像就沒關係了。但既然無物也無人，每個人分得多少都是可能的呀，根本無法給出一個單一確定的數值。
道理是懂了！
但怎麼解釋的沒有一點學術氣息呢？
用微微學術氣息來講講：
初中我們開始接觸最最基本的代數學——也就是解方程。我們發現，除法和乘法互為逆運算，所以問
1 / 0 = ?
就等於是解方程
0 * x = 1
好了，按照定義，0乘以任何數都是0，不可能等於1，所以滿足x的數字不存在，所以不能除。
同樣，如果問
0 / 0 = ?
就等於是解方程
0 * x = 0
同理，任何數字都可以滿足x，所以也不能除——無法確定一個單一的答案。
高中的我們接觸了基本的形式邏輯，我們又會發現另一種證明方式：反證法。
一堆真的表述，不能推出一個假的表述，所以如果我們用「能夠正常地除以零」加上別的一堆真表述，最後推出假的來，那只能說明「除以零」這件事情不成立了。
所以，已知
0 * 1 = 0
0 * 2 = 0
推出 0 * 1 = 0 * 2
兩邊同時除以零，得到
( 0 / 0 ) * 1 = ( 0 / 0 ) * 2
化簡得到 1 = 2。這顯然是錯的啦。
上了大學，學過微積分的我們對於∞這個符號並不陌生，因為我們似乎覺得「能除以0，結果不就是∞嗎。」
數樂君想說不對！不對！不對！
因為無窮有正無窮，有負無窮。
1/0.1=10
1/0.01=100
...
1/0.000001=10000000
意味著1除以一個很小很小的正數，得到一個超級大的正數。
而
1/（-0.1）=-10
1/（-0.01）1=-100
...
1/（-0.000001）=-10000000
意味著1除以一個很小很小的負數，得到一個超級大的負數。
在超級大的正數和超級大的負數這兩個數字中間經歷了多大的鴻溝，我們不得而知。而他們的中間，除以的正是0。
因此，微積分課程裡會反覆說，雖然用到了∞這個符號，但是這只是代表一個趨勢，絕對不是一個真正的數，不可參與運算。
高端配置玩自定義，那麼如果我們直接定義
1 / 0 = w，w是個「無限大」的數，這樣可以嗎？
當場碰壁！！！
我們面對w立刻就遇到了問題。首先可能在直覺上，w是一個無窮大的數，那麼1 + w 應該等於 w！而 w - w 則等於0！
但這樣立刻會和加法裡極其重要的「結合律」產生矛盾：
1 + ( w - w ) = 1 + 0 = 1
可是( 1 + w ) - w = w - w = 0
結合律是加法裡非常基本的東西，為了一個w，連結合律都不要了，這成本有點大。
你可能會提出反對：小輩我自身能力有限，但後浪們青出於藍而勝於藍，有沒有可能在將來的某一天冒出一個能夠自洽的辦法？
如果有能夠將除以0完美融入現代數學體系的辦法，那自然是最好，然而不大可能。
其他學科可以通過新發現來推翻舊結論，但在數學裡走不通。因為數學在兩千多年的發展都是建立邏輯上，假如確實存在w這一個數，那麼它一定違反了我們現有數學體系中的公理。當然我們的數學還沒有完成最終公理化，還要面對哥德爾的幽靈，但至少在這個例子裡，如果w是一個真正的數，那它就違反了一些非常重要的公理，而這些公理的地位可是非常之深。
比如有一組基本的公理叫「皮亞諾公理」
每一個確定的自然數都有一個確定的後繼，後繼也是自然數；另一條說，自然數b=c，若且唯若b的後繼=c的後繼。
那w是誰的後繼呢——或者說，誰加上1能得到w呢？顯然所有其他的數字都已經有了自己的後繼，w在其中沒有位置。如果你想把w當成一個數，那就沒法和我們現有的實數兼容。
而沒有皮亞諾公理，整個自然數的體系都不能成立。
但是！！！凡是都有個例外！其實在個別奇葩場合下，0也是可以做分母的。
比如有一個東西叫做「復無窮」，它是擴充複平面上的一個點，真的是有定義的一個點。在這個特殊的規則下你可以寫下 1 / 0 = ∞ 這樣一個表達式。這麼做的原因就說來話長了，但它不是平常意義上的運算——比如你不能把0拿回來，不能寫 1 = 0 * ∞。
另外，「無窮」二字在一些別的場合下是可以當成一個「東西」去對待的。比如當你衡量一個集合的大小的時候，它可以是無窮大的。但這就有很多種不同的無窮大了——自然數是無窮多的，有理數是無窮多的，實數也是無窮多的，可是奇數和偶數和正整數和負整數和自然數和有理數都一樣多，而實數卻比它們都多！同樣是無窮，有的無窮比別的無窮更無窮。
說到底，0能不能作為除數只是一個規定問題，如果確實要討論的話，那就只是在討論這個規定的合理性，所以在通常意義下0不能作為除數，否則會違反了一些非常重要的公理，而這些公理的地位可是非常之深。
所以，
當你可以完美的除以0，就推翻整個數學界了。
微信號 :smlyor
數模樂園
倡導和踐行數學建模應用社會化
● 掃碼關注我們 ●