我們用公式很容易計算1到n的自然數之和，如下1到100的自然數之和等於5050
但是如果我們用微積分來計算，會給我們帶來怎樣的結果呢？
直觀上，這個積分是「重複地加一堆東西」——從微積分出發，連續自然數之和貌似符合如下微積分公式，它等於x^2/2
我們看一下計算結果：從1到100的實際總和是5050。但是使用微積分方程，我們得到：
這樣的結果與真實的值5050很接近，因為微積分採用連續模式，而我們使用的是離散模式，這裡我們用幾何圖像來比較下，就明白了
微積分針對的是平滑連續的函數，如直線，拋物線，圓等，但我們擁有的模式是跳動的階梯式的，從1到2，從不經過1.5或1.1或1.0001）
因此，當函數平滑變化時，微積分效果很好。如果函數突然改變，微積分只能給出一個近似的答案。
線下的面積是整數。我們還需要加上直線上方的一堆三角形
（具有諷刺意味的是，微積分的工作原理是對平滑函數進行跳躍式逼近，如果您打算使用跳躍式模式，請使用離散微積分。）
連續自然數的平方之和
前100個平方數之和的等於多少呢？
我們同樣適用離散模式，其結果等於x^3/3
其結果等於：3333333
實際上前100個平方數之和真實的答案等於：338350
微積分得到的結果與真實的結果有多接近？99.9％。對於我們用手在一分鐘內做出來的東西來說，還不錯！