歐拉-拉格朗日方程(Euler -Lagrange equation) 為變分法中的一條重要方程。它提供了求泛函的平穩值的一個方法，其最初的想法是初等微積分理論中的「可導的極值點一定是穩定點（臨界點）」。當能量泛函包含微分時，用變分方法推導其證明過程，簡單地說，假設當前的函數（即真實解）已知，那麼這個解必然使能量泛函取全局最小值。
泛函我們很清楚函數的概念，它大致是，將一個自變量扔到一個黑盒裡，經過黑盒的暗箱操作，最終得到了一個因變量：
泛函數是將一個函數作為自變量，經過黑盒，最終得到一個實數的因變量：
可以說，泛函就是函數的函數，是更廣泛意義上的函數。
歐拉-拉格朗日方程最速降線有一種泛函稱為簡單泛函，它的長相是這樣：
其中L是一個確定的函數，之所以叫簡單泛函，是因為只傳遞了三個參數，複雜一點的話還可以繼續傳遞f的高階導數。現在的問題是，如果A處於極值點，它對應的f(x)是什麼？
這實際上是求一個具體函數，使得泛函能夠取得極值。一個典型的例子是最速降線問題：從所有連接不在同一鉛垂線上的定點A、B的曲線中找出一條曲線，使得初始速度為0的質點，受重力作用，由A沿著曲線滑下時以最短的時間到達B：
這裡我們將曲線看作路徑f關於時間t的函數：
ΔSi是在極短時間Δti內沿著曲線移動的微小弧長，此時的瞬時速度是ΔVi，距離=速度×時間：
重力加速的推論，在t時間處的速度v2 = 2gh：
質點從A點到B點的總時間：
根據弧長公式，可以將dS化簡，進一步寫成（關於弧長公式，可參考：《數學筆記25——弧長和曲面面積》）：
把結論和簡單泛函做個對比，可以看到二者形式相吻合：
最右側的式子並沒有嚴格映射到L(x,f(x),f』(x))，因為在函數中並沒有直接使用到參數t，這無所謂了，可以理解成雖然傳遞了參數t，但實際上t並沒有起任何作用，就像y (x) = 1一樣，無論傳遞任何x，最終結果都是1，但它仍然是一個y關於x的函數。現在回到最初的問題，AB間有無數條曲線，每條曲線都可以求得時間T[f]，在眾多的曲線中，有一條唯一的曲線能夠使得T[f]取得最小值，這個f(x)應該長成什麼樣？
EL方程的推導這裡暫且耍一下流氓，拋開具體的速降問題，只看A[f]，並且假設f0(x)就是符合條件的最優函數。現在，將f0(x) + k(x)定義為是有別於最優曲線f0(x)的其它函數，其中k(x)可以是任意函數。如果如下定義f(x, k)：
因為f0(x)是最優函數，此時A[f0]有最小值，則一定有：
由於任意函數k(x)不好定義，為了能夠使k(x)任意小，令：
η是任意函數，當ε取極小值時，可以看作是對f0(x)的輕微擾動；還需要額外定義的是，在端點處是不能擾動的，即εη(A) = εη(B) = 0，這對於任意ε都適用，所以η(A) = η(B) = 0。注意ε是對f0(x)的擾動程度，εη(x)是擾動後的增量，εη(x) = 0說明擾動為0，也就是無擾動，f(x) + εη(x)才是擾動後的函數。
由於假設f0(x)是最優函數，所以可以將f0(x)看作已經確定的函數，如果再將任意函數η(x)看作一個確定的函數，那麼A可以看成ε的函數，若A』 = 0，函數存在極值，這已經變成了極值點的求解：
根據鏈式法則（可參考《多變量微積分筆記4——全微分與鏈式法則》）：
根據分部積分（可參考《單變量微積分筆記24——分部積分》）：
η(x) = 0說明對f0(x)無擾動時，A能取得極值，但它對f0的具體形式無任何幫助；因此最優函數f0(x)的具體形式由第一個解確定：
這就是歐拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrage equation），可以幫助我們求解泛函下的極值，這裡L是已知的。它的最初的思想來源於微積分中「可導的極值點一定是穩定點（臨界點）」。它的思想在於：假定當前泛函的解已知，那麼這個解必然使得泛函取得最小值（假定是最小值）。換言之，只要在泛函中加入任何擾動，都會使泛函的值變大，所以擾動為0的時候，就是泛函關於擾動的一個極小值。擾動用一個很小的數ε乘上一個連續函數η(x)。當ε趨近於0，意味著擾動也趨近於0。所以當擾動為0時，泛函對擾動程度的導數也為0。這就非常巧妙的把對函數求導的問題轉化成了一個單變量求導問題。
需要注意的是，歐拉-拉格朗日方程的前提條件是端點不會擾動，也就是說需要固定兩個端點。
最速降線的解有了歐拉-拉格朗日方程，終於可以計算最速降線的最優解：
其中f = f(t)。由於：
將①代入：
現在，使用參數方程：
之所以令f』 = cot(θ/2)，是因為在θ的定義域[0, 2π]上，f』可以取任意值：
y = cot(x/2)， 0 ≤ x ≤ 2π
上式最終將f(t)轉換為關於θ的函數，對上式直接求導：
通過參數方程f = f(t)，t = t(θ)，f』 = cot(θ/2) 求導：
最終的曲線用參數方程表示：
這正是擺線的參數方程。本節三角替換、參數方程、擺線的相關知識可參考：《線性代數筆記6——直線和曲線的參數方程》和《單變量微積分筆記20——三角替換1（sin和cos）》
大概古人就理解了最速降線，所以中國古建築的屋頂的斜坡並不是直線，這樣可以加快雨水的流動（不知道對不對，也有可能僅僅為了美觀）：
兩點間的最短路徑
初中幾何中給出這樣一個公理：兩點間直線距離最短。記得當時老師的解釋是，公理是大家公認的，不需要證明。這對初中來說沒錯，但公理實際上也是可以證明的。
這可以使用反證法證明，但是在這裡，我們想使用解析的方式證明。
AB兩點間的曲線有無數條，需要取其中最短的一條。令曲線的函數是y = y(x)，那麼根據弧長公式（可參考《單變量微積分筆記25——弧長和曲面面積》），曲線的長度可表示為：
這有點像歐拉-拉格朗日方程的泛函了：
現在將弧長和歐拉-拉格朗日方程對應：
由於L中僅用到了y』，並沒有用到y，所以L關於y的偏導等於0：
y = ax + b正是直線方程，所以AB間最短的距離是直線。可以看出，初等數學為高等數學的推導提供了依據，高等數學反過來又能證明初等數學。
本文是《機器學習中的數學》中的原稿