來源：劉延柱科學網博客，作者：劉延柱。
抖空竹，江南也稱扯鈴，是我國民間的傳統遊戲雜耍活動，相傳已有上千年歷史。明末劉侗、於弈正合撰的描寫北京民間風俗的《帝京景物略》中就有
「楊柳兒青，放空鐘；楊柳兒活，抽陀螺；楊柳兒死，踢毽子。」
這裡空鐘就是空竹。清代記載空竹的文獻尤多，梁溪坐觀老人著《清代野記》中對空竹的構造有詳細的說明：
「京師兒童玩具，有所謂『空鐘』者，即外省之『地鈴』。兩頭以竹筒為之，中貫以柱，以繩拉之作聲。」
「空鐘者、形如輪，中有短軸，兒童以雙仗系棉線播弄之，儼如天外鐘聲。」
抖空竹的人將線繩繞在短軸上，用力來回抽拉，利用線繩對短軸的摩擦力帶動空竹旋轉（圖1）。帶孔空心圓盤在快速轉動中產生的氣流發出悅耳的嗡嗡聲。抽拉線繩的運動是往復運動，一來一往，線繩相對短軸的滑動方向與短軸時而一致，時而相反。方向一致時線繩的摩擦力使空竹加速，相反時則減速。善於抖空竹的行家會在方向一致時用力上提繃緊線繩，同時加快抽拉速度。方向相反時，則放鬆線繩且速度減緩。從而使加速時的摩擦力大於減速，空竹則越轉越快。當加速與減速的效果相互平衡時，空竹就維持轉速恆定。
圖1 抖空竹
空竹有單輪和雙輪之分（圖2）。單輪空竹只有一頭裝有圓盤，雙輪空竹則兩頭均有圓盤對稱安裝。兩種空竹抖起來以後可出現不同的現象，雙輪空竹在抖動時轉動軸的方向保持不變，抖空竹的人可站在原地不動；單輪空竹在抖動時轉動軸卻不停改變方向，抖空竹的人不得不隨著空竹在原地打轉，以維持空竹與線繩的聯繫。兩種不同的運動現象恰好顯示出兩種不同的陀螺特性，即所謂陀螺的定軸性和進動性。
由於線繩對短軸的摩擦力不足以使空竹的質心產生太大的加速度，因此可以足夠準確地認為線繩對空竹的支持點O 在空間中的位置固定不動。於是對空竹運動過程的描述可以應用剛體對定點的動量矩定理：
圖2 單輪和雙輪空竹
其中，L 為剛體對O 點的動量矩，M 為作用力對O 點的力矩。軸對稱剛體繞極軸轉動時，其動量矩L 與極軸方向一致。對稱的雙輪空竹由於質心Oc 與支持點O 重合，重力對O 點的力矩M 等於零。動量矩L 為常矢量，極軸保持空間中的方向不變，顯示出陀螺的定軸性。不對稱的單輪空竹由於重心Oc 偏在圓盤一邊，重力對O 點的力矩M 促使動量矩在空間中轉動。上式中的矢量導數dL/dt 等於矢量L 的端點速度，應與矢量M 的方向一致。其結果是使矢量L 在空間中發生轉動。旋轉剛體的極軸隨同動量矩L 在力矩M 作用下的轉動稱為進動 (precession)。單輪空竹改變轉動方向的現象，即體現了陀螺的進動性。
1760年，歐拉 (Euler,L)（圖3）以剛體的固定點O 為原點，建立與剛體固結的直角坐標系 (O-xyz)。將剛體對O 點的動量矩L 表示為剛體對O 點的慣性張量J 與角速度矢量ω 的標量積L=J·ω，僅考慮重力場的作用力矩M，代入動量矩定理公式，投影到 (O-xyz)，就得到以角速度ω 的三個投影為未知變量的微分方程，經典力學中稱為歐拉方程[1]。歐拉方程是一組非線性的微分方程，一般情況下不存在精確的解析積分。只有三種特殊情況有解，其中之一是質心與定點重合，重力對定點無力矩作用的情形，稱為歐拉情形。1788年拉格朗日 (Lagrange,J.L)（圖4）導出了另一種可積情形，即軸對稱剛體的質心和定點均在對稱軸上的情形，稱為拉格朗日情形，而上述雙輪空竹和單輪空竹恰好就是歐拉情形和拉格朗日情形剛體定點運動的具體體現。
圖3 歐拉 (L. Euler, 1707-1783)
圖4 拉格朗日(J.L.Lagrange, 1736-1813)
在雙輪空竹的旋轉過程中，還可以觀察到極軸的輕微抖動。空竹轉得越快，抖動的頻率越高。這種伴隨高速旋轉剛體的高頻抖動稱為剛體的章動 (nutation)，是由剛體的慣性作用維持的運動。陀螺的定軸性由極軸的平均位置所體現。
當空竹被拋向空中時，由於失去固定的支持點，剛體對定點的動量矩定理已不能應用，必須改用對質心的動量矩定理描述其運動。動量矩定理公式中L 和M 的定義必須改為對剛體質心的動量矩和力矩。無論雙輪或單輪空竹，騰空時重力對質心的力矩均等於零。因此，騰空狀態下兩種空竹均保持極軸的方向不變。於是，抖空竹的人才有可能將下落的空竹穩穩地接住。
旋轉中的單輪空竹還能放倒在地上，使短柄的尖端著地繼續穩定旋轉，於是空竹轉變為陀螺。將陀螺的觸地點視為固定點，則成為矩心移到觸地點的拉格朗日情形剛體定點運動。
參考文獻：
[1] 劉延柱. 高等動力學(第二版). 北京：高等教育出版社，2016
（原文註：原文載於《劉延柱. 趣味剛體動力學(第2版). 北京：高等教育出版社，2018》第1.3節）
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