連分數和無理數有許多有趣的性質，本篇我們就來了解下：
如下是個簡單的連分數，不斷的替換1，就得到1的連分數
如果我們把第一式子的1替換成2，依然成立，就得到2的連分數
所以得到
顯然這是錯誤的，夥伴們你知道哪裡出錯了麼？繼續往下你就會明白
我們來看無理數的連分數
可以寫成
發現2後面的小數和根號2的小數一樣
所以重複下去就得到根號2的連分數
你會發現根號2的連分數是有1和2組成
如圖是黃金比例的連分數
你會發現帶根號的都會生成周期性的無窮連分數，根號3，根號5 都存在這樣的周期性。
如圖是自然常數e的連分式：
你會發現e的連分式也存在著周期性：2114 116 118..........
我們可以用這些連分數來證明這些數是無理數：
首先從有理數分數說起，一個分數不斷寫成連分數時，必定是有限的收斂的，不會無限延伸下去：
對於無理數如：黃金分割，自然常數 圓周率，這些數的連分數是無限延伸下去的。
如下是π的連分數，按前面所說的方式不斷寫下去，延伸的越多近似程度越高。
你會發現π的接近速度遠高於Φ ，這和他們的連分式有關。
π的連分式都是3,7,15......較大的數逼近程度更快。Φ 的連分式都是1,1,1.......較小的數逼近程度慢。所以黃金比例數被稱為無理數之王。
上圖中寫的分數都是連分式左側最大的整數部分構成的，如π的分數：22/7,333/106.....總是收斂於π
我們一提到黃金比例數，就不得不想到斐波那契數列，它們兩個存在著密切的聯繫，黃金比例數的連分式生成的部分分式的數列，發現存在斐波那契數：
以上就是對連分數和無理數的描述與分析。