神奇的「黃金分割數」與連分數恆等式

在一次學校值班的過程中，查完最後一個寢室，已是夜裡十點多了，拖著疲倦的身軀鋪好床鋪，讓自己摔倒在被子上，很舒服！掏出手機，打開微信，批閱「奏章」.

一個陌生的微信號閃現，一個網名叫「M」的人給我發來了遠方的信息。趕緊打開看看，「老師，您好！我想向您諮詢一下有沒有一個恆等式是連分數形式的？」我瞬間有一種懵逼的感覺！趕緊搜腸刮肚自己可憐的數學記憶，好像在北大張順豔老師的《數學思想方法》課程裡看到過「連分數」的相關概念和一些式子.但，隨著時光的流逝，我也把這些知識早已經還給張順豔老師了.「叮咚」，有一條信息再次發來：「除了拉馬努金公式。」說實話，那一瞬間，一股崇拜之情油然而生，這是誰啊？問我這麼專業的問題.「是一個等於黃金分割的式子，您有辦法可以查到嗎？」我趕緊百度了一下，還真沒發現有相關的主題和關鍵詞.

在我思考的瞬間，又來了一連串的信息：「老師，具體情況是這樣，我是一個高中生，最近意外發現一條公式.」我的眼鏡差一點掉在床上，弄半天是個孩子在跟我聊他的數學發現，現在的孩子，真不得了！這就是我當時的想法.我的好奇心也被激發起來，我不得不承認，我被這孩子抓到心了.「能把你的發現跟我分享一下嗎？」我試探著問道.「數論不是我的強項，希望你能像拉馬努金一樣，取得新的數學發現.你的公式可以證明嗎？」「所有的發現絕非意外，那是積累到一定程度的頓悟」我心虛的如是說.「老師，不好意思，我已經證明了，但是我覺得太簡單了，我寫一下您看看，真的很不好意思打擾您.」我真的太高興你來打攪我了，我心中竊想.「沒事，交流數學思想和方法，不論難易，不分年齡.」

在我焦急的等待中，孩子終於把他的發現發送了過來，他把演算的過程寫到練習本上，拍照給我發了過來，「M」的發現是這樣的：

看了「M」的演算過程，又是神奇的「黃金分割數」

其中，我們不難看出黃金分割數的獨特性質：1加黃金分割數的和的倒數還等於黃金分割數.

到此，我還好奇於一個問題，於是，我給M同學發送消息：「你是怎麼發現這個規律的呢？」很快，答覆就過來了「我是意外玩計算器的時候發現的.」看來，數學實驗對於數學研究和數學發現還是很有意義的.不讓學生使用計算器和圖形計算器，以及電腦來學習是嚴重的落伍行為啊！

後來，我在給數學系的學生上課的過程中，把這個孩子的發現帶到了我的課堂上，以強調「觀察與試驗」方法之於數學學科的意義和價值.引起了這些大學生的廣泛興趣，上完課的當天晚上，我們班的「靜靜」同學也給我發來微信：「老師，在嗎？可能你已經睡了，我剛才算了一下，您今天講的那個連分數的恆等式，應該不是只對黃金分割數適用.」這簡直沒法睡覺了都！我的精神瞬間燃燒起來，開始認真研讀靜靜同學的發現.她的演算過程是這樣書寫的：

「厲害，再努力一步，看能否創建出連分數恆等式，加油！」我繼續鼓勵她進一步探索.其實，有了上面到n的通項公式，連分數表達式已經顯而易見了：

這裡面又蘊含著什麼更一般的數字規律呢？我相信深入研究下去還會有更加驚人的發現.聰明的你，能繼續我們的探究嗎？期待更多人的參與和回復！

在整個探究的過程中，無疑這兩個孩子的觀察力是很敏銳的，他們的邏輯思維是很強悍的，這也正是數學帶給我們的快樂和幸福所在.我們還可以看到，分享與合作之於研究的價值和意義，高深的我們姑且不論，最起碼，分享與合作帶給我們的是一種快樂的研究，而不是苦逼的鑽研.