世界上第一個證明π是無理數的方法——高中生也能理解

2020-12-13 遇見數學

[遇見數學創作小組]作者: 爛柯野人, 參考自 Mathologer 視頻

前言

本文給出一個高中生也能看懂的證明方法，由瑞典數學家約翰·海因裡希·蘭伯特在1761年給出。此方法利用三角函數的泰勒級數展開，巧妙的反覆運用倒數技巧得到了tan x的連分數表示，然後證明了這個連分數是一個無理數。據信，這個也世界上第一個證明π是無理數的方法。此方法簡潔易懂，即使從現在的觀點來看，其思路也非常具有啟發性。

▲ 約翰·海因裡希·蘭伯特(圖行二左三)

準備工作

1）無理數和反證法

無理數是指不能寫成分數的數。如果需要證明某個數是無理數，大多用反證法，即假設它可以表示成兩個整數的比，然後推導出矛盾，以此證明假設不成立。

例如，如何證明lg3是無理數？可以先設 lg3 是有理數，於是有

即

兩邊同取n次冪

得到

這個等式顯然不成立，因為其左邊是一個偶數而右邊是一個奇數，得到了矛盾的結果，因此lg3是有理數的假設不成立。附一中有幾個練習，請試試。

2）連分數

連分數(Continued fraction)也叫繁分數，是形如下圖的分數：

其中a0、a1、a2……，b0、b1、b2……為實數或複數。連分數常用來逼近無理數，這也是最早研究連分數的動機，想將實數用「純粹的數學」表示出來。連分數的相關理論在數學中有著重要作用，它是數論及線性方程研究中的一個重要工具，與概率論、級數遞歸、函數逼近、工程技術和計算機科學等也有聯繫。

連分數因大數學家歐拉而廣為人知，歐拉證明了形如下圖的、所有分子都是1、所有分母都是正整數的無限簡單連分數均是無理數。

實際上，上圖中的無限連分數等於，其分母是121212……無限循環。歐拉利用連分數的這一無理性質證明了自然底數e是無理數，並且得到了e的無限連分數形式：

從第二個2開始，其分母是211、411、611、811、1011……。蘭伯特是歐拉在柏林科學院的同事，熟悉歐拉對連分數的研究和成果，他因此冒出一個好主意：將tanx寫成連分數形式。

3）麥克勞林公式

麥克勞林公式是泰勒公式在x=0點的特殊形式。若f(x)在x=0處n階連續可導，則下式成立：

其中

表示 n 階導數且(0 <θ<1)。因為y=sinx在x=0處具有任意階導數，用麥克勞林公式在x=0處展開sinx，得到：

同樣展開cosx得到：

證明過程

第一步，蘭伯特得到了tanx的連分數表示：

第二步，蘭伯特證明了，當x是除0之外的有理數時，tanx是無理數。所以tan(1/2)、tan(3/4)等都是無理數。

第三步，因為tan(π/4)=1，1不是無理數，所以π/4不能寫為分數形式，即不是有理數，從而證明π是無理數。

1）第一步，得到tanx的連分數表示

將sinx和cosx的展開式代入

得到

從紅色分數線分子上提出一個x，

由於

所以有

對紅分數線上的分子加上紅分數線的分母再減去紅分數線的分母，得到

調整下順序

去括號

計算紅框內的對應項，得到

式中，藍底色的兩部分相同，因為

所以有

對紅分數線上的分子統一提出 -x，得到

再次使用倒數技巧得到

再反覆使用分子加減分母法，這次因為分母是1/3，為消去紅分數線上的常數1，給分子加3倍的分母再減去3倍的分母得到

整理得到

如此反覆計算下去，最終得到

可以通過對比tanx和連分數的圖形驗證這一結果。下圖是取連分數第一層時的圖形（藍色）與tanx的圖形（棕色）對比，兩個圖形在0點重合。

取連分數的第二層時，圖形更加接近，如上圖。取越多的部分作圖，就越逼近tanx的圖形，證明這個連分數是正確的。

2）第二步，證明x為有理數時tanx是無理數

設x是有理數，則x可以寫為 u/v，其中u和v均為正整數，代入得到

化簡右邊連分數，給分子分母同乘v，得到

這個無限連分數，除了第一個分子是u，其它的分子都是u。分母則越來越大，也就是說，從某一處向後，分母會比分子大很多。現在來證明這個無限連分數是無理數。

根據u和v的不同，可能是55v或555v才比u大，這裡不防設5v比u大2，那麼從這一點向後，所有的分母都比分子至少大2。

由

得到

那麼下圖中藍色後面所有部分是大於0小於1的

同樣，如下圖，從7v開始，之後的所有部分也是大於0小於1的。

如果上兩圖中的藍色部分或者綠色部分是無理數，那麼整個連分數就是無理數。現在來證明從5v開始的藍色無限連分數是無理數。令藍色部分等於B/A，有B/A<1，即A>B。

所以得到：

再考慮7v向後的部分，整理上面的式子得到下式

由於A、B、v、u都是整數，所以B5v-Au也是一個整數，令其等於C。

因為7v向後的部分也是大於0小於1的，所以又得到：

所以現在有：

再考慮9v向後的部分又得到：

因為這是一個無限連分數，所以反覆這樣做可以得到一個無限遞減數列：

由於數列中所有數都是正整數，而數列的大小是無限的，無論A有多大，始終都會在有限次遞減後小於0，所以不存在這樣的一個遞減數列。

於是，之前從5v開始的藍色部分無限連分數是有理數的假設是錯誤的。於是得到

tan(u/v)=無理數

3）第三步，π是無理數

因為

而1不是無理數，根據原命題與逆否命題具有相同的真假性（如果π/4=u/v，那麼應該得到一個無理數而不是1），得到π/4不是有理數，所以π不是有理數。

得證。

4）一張圖總結

附一，練習

為什麼？為什麼我只能推導出下面的不等式？

2）lg 2 是無理數嗎？怎麼證明？

3）

是無理數嗎？怎麼證明？

4）怎麼推導出根號3等於下圖中的連分數？

5）文中推導tan x的連分數時，給分子加上了一個分母又減去一個分母。其中無論是分子還是分母，都是很大的無窮級數，它們應該不支持交換律和結合律，但蘭伯特為什麼能對分子進行去括號、交換計算順序等操作？

附二，最短證明，也就是數學家 Ivan Niven 給出的證明：

相關焦點

  • 證明圓周率π是無理數很難?數學家只需要一頁紙!
    上一回我們為大家介紹了歷史上第一個證明圓周率是無理數的方法，那是數學家蘭伯特使用的類似於連分數的方法。
  • π真的是一個無理數嗎?
    ，但非常巧妙，且容易理解。漸漸地，隨著我們對數學更深入的學習，我們知道了π和e與根號2一樣，是無理數大家庭中的一員。 然而我們應該如何嚴謹地證明π是無理數呢？ 乍一想，我們似乎從來沒有思考過π是無理數這個問題。其實π是一個無理數的證明並沒有想像中那樣簡單，很多的證明都需要用到 高等數學的知識。
  • 如何證明圓周率為無理數?
    但直到兩百多年前，圓周率是無理數才被德國數學家蘭伯特所證明。所謂的無理數是指無法用分數表示的數，只能寫作無限不循環的小數。當年，蘭伯特發現，tan(x)可用如下的連分式展開表示：然後，他證明了倘若x是非零的有理數，那麼，上述表達式肯定就是一個無理數。
  • 證明圓周率π的無理性
    根據定義，無理數也稱為無限不循環小數，不能寫作兩整數之比。諸如1 / 2、3 / 5和7/4之類的數字稱為有理數。和所有其他數字一樣，無理數可以用小數表示。但是，與實數的其他子集（如圖1所示）相反，無理數的十進位擴展永遠不會終止，也不會像循環小數那樣有著重複的序列。而圓周率π（圓周長與其直徑之比）正是無數無理數中的一個（如圖2所示）。
  • 你們要的證明來了——證明歐拉數e是無理數
    之前寫過一篇文章證明了圓周率π是無理數，有小夥伴問我能不能證明自然數e也是無理數。今天，在這篇文章中，我將描述兩個簡單的證明歐拉數e≈2.71828是無理數。第一個證明是由法國數學家和物理學家約瑟夫·傅立葉提出的。第二個證據是法國數學家查爾斯·埃爾米特提出的。
  • √2的√2次方是無理數嗎?
    這個證明本身沒有什麼問題，但它沒有給我們一個實際的構造方法，即，對一般情況的兩個無理數α，β，我們如何判斷αβ是不是無理數呢？超越數的判斷很困難，現在人們所知的超越數不多，比如常見的數e,π,Hermit第一個證明了e是超越數，Lindemann第一個證明了π是超越數。至於其它的證明，雖然時有聲稱只用簡單方法就證出這個結論，但正確性未經同行檢驗。比如下面的證明：
  • 根號2是無理數的幾種證明方法
    ，他是人們從有理數到無理數的認識的轉折點。因為古希臘曾有「萬物皆數」的思想，這種認為「大自然的一切皆為整數之比」的思想統治了古希臘數學相當長的一段時間，許多幾何命題都是根據這一點來證明的。當時的很多數學證明都隱性地承認了「所有數都可以表示為整數之比」，「萬物皆數」的思想是古希臘數學發展的奠基。據說，第一個發現這個現象的人叫做希帕索斯，但是他這個發現觸犯的畢達哥拉斯學派的權威， 最後被淹死在大海之中。
  • 無理數逼近的最佳方法與杜芬-謝弗猜想
    在某種程度上，他們開始懷疑有些事情不對勁。這是一個刁鑽的問題：他們永遠不會在計算器上找到正確答案，因為sqrt（2）（根號2）是個無理數。有理數，包括所有整數和所有可以表示為整數比的分數，是我們在日常生活中經常遇到的數字。我們的鞋碼、價格標籤、標尺標記、籃球數據、食譜數量——基本上所有我們測量或計算的東西——都是有理數。
  • 北師大版八年級上2.1認識無理數
    2.無理數類型：（1）化簡後含有π的（2）特殊結構的，如：0.101 001 000 1…（兩個1之間依次多1個0）（3）開方開不盡的3、實數的概念及分類 ①實數的分類②無理數無限不循環小數叫做無理數。
  • 無理數是高維空間的數字嗎?
    無理數可能是高維世界的數字。在高維世界裡，無理數是非常簡單的，它之所以無限不循環，只是低緯世界的一個錯覺。
  • 細思極恐的無理數
    人類歷史上安全感受到衝擊的時刻，有人會想到量子力學。但早在2500年前，無理數的出現，就已對安全感造成了巨大的衝擊。每個對形而上有些許思考的人，如果能放下對無理數的習以為常，用心觀察之後，會不自覺地對這類數字心生恐懼。我們常在「圓滿」中感到慰藉。
  • 圓周率π的故事
    在遠古時期，人們就知道圓周長P與直徑D的比值是不變的，即不論圓多大，比值P/D不變(叫圓周率).英國語言學家威廉·瓊斯(William Jones，1746—1794)於1706年第一個採用π表示圓周率.π在很多數學公式中出現，如圓周長、圓面積、球體積、橢圓面積A=πab等.π究竟是多少？
  • 「π日」說π:這麼複雜的一個數,是什麼來歷?
    比如，π是無理數——你只能不斷地靠近、卻永遠無法達到「真實」。算π算了好幾千年，卻發現「無理」竟然是深刻本性，π的神秘或許因此又多了一分。而且，它不僅僅是無理數（根號2也是無理數），還是「超越數」——它並不能表達為任何一個有理代數方程的根，跟整個有理數的世界都是割裂的，獨立高冷到一定境界。
  • 「π日」說π:這麼複雜的一個數,誰算的?咋算的?
    這個時代，數學家們對π的其它特性的興趣，遠比π有多少位要濃厚。比如，π是無理數——你只能不斷地靠近、卻永遠無法達到「真實」。算π算了好幾千年，卻發現「無理」竟然是深刻本性，π的神秘或許因此又多了一分。而且，它不僅僅是無理數（根號2也是無理數），還是「超越數」——它並不能表達為任何一個有理代數方程的根，跟整個有理數的世界都是割裂的，獨立高冷到一定境界。
  • 耳聽為虛,眼見為實——無理數是否存在?
    「雖然普通人被灌輸：世界上有無理數；無理數是存在的…」現代學者接著說，「但他們其實並沒有見過無理數…」 （「仔細回想一下，我們是從什麼時候起
  • 數學上有哪些巧妙的證明過程?
    雖然通過分別推導出左右兩邊的計算公式就能證明該等式，但通過如下的圖形很直觀地就能證明上式：把自然數立方和的圖形平鋪看來，其中的正方體數量剛好是就是自然數之和的平方，所以就能證明上述等式成立。（2）勾股定理這個公式為勾股定理，我國在商朝時就已經發現了直角三角形的一個特例——勾三股四玄五，後來的中外數學家通過各種方法來證明這個公式。
  • 「 π 」 會不會被算盡?
    除了平時買東西時會動用100以內加減法，其他高深的數學知識裡，能算得上比較臉熟的，就只剩下圓周率π了。                                              π≈3.14，必須寫一下，以證明我念過書
  • 五種方法證明根號2是無理數
    當時有個題目叫我們證根號2是無理數，當時很多人打死了也想不明白這個怎麼可能證得到，這種感覺正如前文所說。直到看了答案後才恍然大悟，數學上竟然有這等詭異的證明。當然，我們要證明的不是「根號2是無理數」。那個時候還沒有根號、無理數之類的說法。我們只能說，我們要證明不存在一個數p/q使得它的平方等於2。
  • 有理數和無理數
    目前有很多種用分數近似描述它的方法。例如，10/7 或1414/1000，但它們都不是真正的√2。也許我們還不夠努力？接下來的定理說這樣的搜索是徒勞的。這個證明——一個關於無理數的定理，使用的是反證法。在下面的證明中，我們將利用這樣一個事實：每個分數都可以被約分，直到分子和分母沒有大於1的公約數。
  • 令人稱奇的簡單證明:五種方法證明根號2是無理數
    不管我們什麼時候更新，您都能容易找到。 如何證明存在一種不能表示為兩個整數之比的數？    古希臘曾有「萬物皆數」的思想，這種認為「大自然的一切皆為整數之比」的思想統治了古希臘數學相當長的一段時間，許多幾何命題都是根據這一點來證明的。