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當我的學生變得太依賴計算器時，我讓他們找一個數，當它自身相乘時，得到2。學生很快看到，由於1= 1和2= 4,答案必須在1和2之間。他們對1.1、1.2、1.3等等，發現1.4^2= 2.25 、1.5^2=2.25，他們說介於1.4和1.5之間。
然後他們繼續，把範圍縮小到1.41和1.42之間，然後再縮小到1.414和1.415之間，這很有趣。在某種程度上，他們開始懷疑有些事情不對勁。這是一個刁鑽的問題：他們永遠不會在計算器上找到正確答案，因為sqrt（2）（根號2）是個無理數。
有理數，包括所有整數和所有可以表示為整數比的分數，是我們在日常生活中經常遇到的數字。我們的鞋碼、價格標籤、標尺標記、籃球數據、食譜數量——基本上所有我們測量或計算的東西——都是有理數。在十進位記數法中，有理數的表示法在一定數目的數字(例如，3/4 = 0.75)或循環小數(例如，1/3表示為0.333…)。
無理數，如sqrt（2）和π，不能被表示為一個整數比的分數。相反，它們的十進位表示永遠不會終止，也不會重複。儘管無理數看起來難以捉摸，但它們構成了實數的絕大部分，其中一些解開了數學中最重要的關係。圓的面積取決於π，無理數e的變化速度是研究的核心。
但是為了理解和計算這些數字，我們經常需要近似它們。例如，我們可能不能精確地測量sqrt（2）英裡，但是我們可以測量1.4英裡，1.41英裡和1.414英裡，這是非常接近的。
所以學生們用計算器得到的答案是sqrt（2）的有理近似值：
這裡，每一個sqrt（2）的有理近似值都比上一個更接近，但是即使我們有一個超級的計算器和無限長的時間，精確的sqrt（2）的小數表示仍然是不可能的。
為了近似sqrt（2），我們可以使用不斷增加分母的有理逼近來逼近我們的目標。這看起來很簡單，但是這裡發生了一些神奇的事情。雖然我們不知道sqrt（2）的精確值，但我們似乎總能知道我們的近似值有多接近：1.4的誤差不超過0.11.41的誤差不超過0.01，以此類推。以這種方式放大無理數需要使用越來越大的分母：
等等。但是，由德國數學家古斯塔夫·勒讓·狄利克雷提出的另一種方法，使用相對較小的分母來生成良好的有理近似值。狄利克雷假設有理數分布在數軸上，他知道如何保證每個無理數都接近1。我們來看看他是怎麼做的。
當學生試圖求sqrt（2）時，他們的第一個近似值是1 = 1/1。雖然不是很接近，但由於它的分母很簡單，這是一個很容易處理的數字。如果我們允許自己使用下一個簡單分母呢？分母為2的有理數，比如1/2、2/2和3/2，沿著數軸均勻地間隔，每間隔為1/2個單位。這意味著每一個數字，無論是有理數還是無理數，都與形式為n/2的有理數之間的距離最多為1/4。例如，1和3/2之間的數字間隔的寬度是1/2。它的中心是數字5/4，距離兩端都是1/4，所以這個區間上的每一個數字距離1或3/2最多是1/4。我們知道sqrt（2）在這個區間內，所以我們知道sqrt（2）與分母為2的有理數之間的距離最多為1、4。
實際上，我們可以這樣覆蓋整個數軸。如果我們把寬度為1/2的區間放在形式n/2的每一個有理數的中心，每一個有理數和無理數，都會在這些區間中的一個。
下面的紅色部分，我們在一個區間內畫出了sqrt（2），更接近於3/2，而不是之前看到的2/2。
我們也可以用n/3的有理式來做。這兩個數之間的距離是1/3，因此通過將寬度為1/3的間隔居中，我們可以覆蓋這條數軸。
每一個數字，包括無理數，都在一個區間內，距離n/3的有理數在1/6以內，每一個數字，包括無理數，都在一個區間內，距離n/3的有理數在1/6以內。例如，我們可以看到sqrt（2）在4/3的1/6以內。
但狄利克雷做得更好。他改進了這個方法，弄清楚了如何在保持整個數軸覆蓋的同時縮小它們中心周圍的間隔。隨著時間間隔的縮短，到我們要近似的無理數的距離也在縮短。這意味著我們將得到更好的有理逼近，即使使用相對較小的分母。但是我們不能很快地縮小區間，即使有無窮多個區間，如果區間太小太快，就不能覆蓋整個數軸。在無限大與無限小的鬥爭中，狄利克雷必須找到正確的平衡，以防止某些非理性從裂縫中溜走。
他找到了。根據狄利克雷近似定理，當我們使用分母不大於3的有理數時，我們知道每個無理數是：
在分母為1*3的有理式1/(1×3 )= 1/3的範圍內(即，一個整數)，或者
在分母為2*3的有理式1/(2*3)= 1/6的範圍內，或
在1/(3*3)=1/9的範圍內。
下面是一段以整數為中心的長度為2×(1/3)的數軸，以分母為2的有理數為中心的寬度為2×(1/6)的數軸，以分母為3的有理數為中心的寬度為2×(1/9)的數軸。
注意，數軸的每一部分似乎都被某個區間覆蓋。在某些情況下，sqrt（2）被兩個區間覆蓋，從而產生兩個符合狄利克雷條件的有理逼近：3/2在sqrt（2）的1/(2×3)=1/6範圍內，4/3在sqrt（2）的1(3×3)=1/9範圍內。
狄利克雷怎麼知道他可以縮短間隔的？假設我們想要用分母不大於5的有理式來近似2 -√。考慮以下五個無理數
看看它們的小數表示法
在這五個數字中，最後一個最接近整數。它離7不遠，我們可以用這個事實在狄利克雷的參數中得到一個有理近似值。
由於5sqrt（2-7≈0.0710、1、5 = 0.2，可知5sqrt（2）在7的1/5範圍內。換句話說，
不等式兩邊同時除以5
它告訴我們sqrt（2）到7/5的距離小於1/25，滿足狄利克雷條件。快速檢查一下，sqrt（2）-7/5≈0.0142，小於1/25 = 0.04。
狄利克雷證明了，對於任意一個無理數，它的某個倍數將足夠接近於一個整數，從而得到一個滿足他的條件的有理近似值。這並不意味著我們可以使用任意的分母來得到我們想要的近似值:畢竟，如果我們只允許使用三分之二，我們永遠不可能得到比43更接近2 -√的數。但無論我們選擇多大的分母，無理數總是在狄利克雷保證的小區間內。
對於小於5的分母，狄利克雷方法保證每個無理數為:
在分母為1的情況下(即1(1×5 )= 1/5))，或者
在分母為2的有理式的1(2×5) = 1/10的範圍內，或
在分母為3的有理式的1(3×5) = 1/15內，或
在分母為4的有理式的1(4×5) = 1/20的範圍內，或
在分母為5的1(5×5) = 1/25的有理範圍內。
這裡我們看到，使用5以內的分母，我們得到兩個滿足狄利克雷條件的sqrt（2）的近似值：3/2在1（2×5 ）= 1/10的sqrt（2）範圍內，7/5在1(5×5) = 1/25的sqrt（2）範圍內。
還記得4/3是sqrt（2）的近似值嗎？對於3以內的分母，滿足狄利克雷條件：在sqrt（2）的1（3×3 ）= 1/9之間。但是現在當我們使用5以內的分母時，它不滿足條件，因為它不在sqrt（2）的1(3×5) = 1/15範圍內。當我們增加允許分母的大小時，每個有理數周圍的間隔會縮小。這不可避免地導致我們放棄一些近似值，但它也保證會出現更好的近似值(如7/5)。
這就是覆蓋整個數軸的能力所在。即使無窮多個區間的大小不斷縮小，狄利克雷定理保證每個無理數至少存在於其中一個。在我們最初的例子中，我們使用分母迅速增大的有理數無限逼近未知，比如141/100、1414/1,000和14142/10,000。但狄利克雷讓我們接近了增長緩慢的分母，讓我們能夠在分母出現時捕捉到好的近似值。
狄利克雷的方法保證總是會有像樣的合理近似無理數sqrt（2）和π：例如，π≈3.14159265…是著名的接近22/7 = 3.14285714…,甚至接近355/113 = 3.14159292 ....這並不只是一種近似特定的無理數。由於整條線都被覆蓋，所以保證每一個無理數都在一個有理數的可控制距離內。狄利克雷的網將它們全部捕獲。
但是數學家們從來都不滿足於一種可行的技術。他們想知道他們能把它推進多遠。在保證整個數軸都被覆蓋的情況下，我們能使區間變得多小呢？如果我們只使用某些有理數而不使用其他有理數會發生什麼？概括狄利克雷的技術最終使研究人員得出了杜芬-謝弗猜想。杜芬-謝弗猜想於1941年首次提出，它假設任何這類問題都可以通過一次計算來解決：如果答案是無窮大，那麼整個數軸基本上就被覆蓋了。如果答案是比它小，那麼數軸實際上是赤裸的。
這些問題在去年得到了解決，當時詹姆斯·梅納德公布了杜芬-謝弗猜想的證據。這兩人花了80年的時間，試圖在此基礎上繼續發展，但就像數學中經常出現的情況一樣，他們採用了一種新的方法來縮小差距。詹姆斯·梅納德使用圖論的技術來推敲出這個數論結果的最終細節。
雖然它可能沒有直接的實際後果，但證明了杜芬-謝弗猜想已經解決了無限大和無限小之間的這場最新的數學戰爭。知道什麼時候足夠接近總是好的。