√2是無理數:見過的最短的幾何證明方法

2020-12-11 電子通信和數學

讓畢達哥拉斯學派感到震驚的是，直角邊是單位長度的直角三角形的斜邊不能表示為兩個整數之比。這一發現代表了算術和幾何數學領域的徹底決裂

幾何方法證明

√2的是無理數的一個非常有趣的幾何證明。

設定ABC是一個等腰直角三角形，它的直角邊是m，斜邊是n。假定這是存在直角三角形的最小整數。

我們作一個以C為圓心，半徑是m的圓弧，並在D處分割AC線。然後在D處作切線，並在E處切割AB線。這裡很容易看出，較小的三角形ADE相似於ABC，並且具有較小的整數邊。這與我們的假設相矛盾，這就證明是不存在這樣的直角三角形的，即根號2是無理數

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    直到看了答案後才恍然大悟，數學上竟然有這等詭異的證明。    當然，我們要證明的不是「根號2是無理數」。那個時候還沒有根號、無理數之類的說法。我們只能說，我們要證明不存在一個數p/q使得它的平方等於2。證明過程地球人都知道：假設p/q已經不能再約分了，那麼p^2=2*q^2，等式右邊是偶數，於是p必須是偶數。
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    證明是數學的基礎。這就是我們知道我們使用的每個規則和定理成立的原因。如果沒有邏輯上嚴格的證明，數學將是一堆虛假的假設。證明有各種方法和規則。有些是長期的和艱苦的，很少能被人發現，而另一些人則站在這樣的基本邏輯上，一點點推動數學的發展數論和分析的一個經典證明是證明無理數的存在，最常見的是平方根2是無理數。有很多方法可以證明這個結果，這是一個極其聰明但又直截了當的非理性證據。利用幾何學的基本知識，我們可以從邏輯上證明平方根2是不合理的。
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