《自然-物理》:運用數學紐結理論研究物理網絡3D布局的新型框架

2020-12-11 量子認知

科學家最近引入了一種稱為網絡同痕的理論結構，該結構可以幫助科學家區分物理網絡。網絡同痕提供了一種分類工具，概述了3D網絡布局的類別，這些類別可以在沒有連結交叉的情況下相互轉換。該最新研究結果論文，題為：「物理網絡的同痕和能量」，發表在《自然-物理》雜誌上。

論文第一作者、劉延晨（Yanchen Liu），美國東北大學網絡科學研究所和物理系三年級博士生，她於2016年北京大學物理學系畢業。

劉說：「這個項目起初是出於對網絡布局的好奇心。」 「我們辦公室中有許多3D列印的網絡，已在實驗室的各個項目中進行了研究。當查看這些網絡時，我們想知道：如果對於給定的網絡，即連結的固定布線，有無數种放置方式在3D空間中的節點和連結上，如何分辨同一網絡的兩個布局是相同還是不同？此外，我們應如何定義網絡布局之間的相似性，如果兩個布局不同，則如何測量它們之間的差異程度如何？」

同痕，英語：isotopy，又稱為合痕，是代數學的基本概念，源於數學中的同倫（homotopic）的概念。同痕的概念在紐結理論中格外重要：若兩個結同痕，則視之相等；換言之，可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。

許多物理網絡，包括人的大腦、血管系統和其他生物網絡的結構和功能通常取決於其三維和幾何布局。然而，在具有相同連接但幾何布局不同的物理網絡之間進行區分可能非常具有挑戰性。

如下如圖所示一個網絡的鄰接矩陣（左），以及該網絡在空間中的三個不同嵌入（右）。網絡的鄰接矩陣記錄網絡的連通性信息。在圖中的網絡中，節點A和B通過連結連接，因此在行A和列B的交點處的鄰接矩陣中的元素為1。類似地，節點A和C沒有通過連結連接，因此在行A和列C的交點處的鄰接矩陣中的元素為零。左邊的鄰接矩陣描述的網絡的前兩個網絡嵌入彼此是同位的，因為它們可以通過簡單地「平整」嵌入而相互轉換，而無需斷開任何連結。另一方面，右側的嵌入與其他兩個嵌入是非同痕的，因為為了將其轉換為其他兩個嵌入，至少需要斷開一個連結（例如紅色連結）以讓其他連結連結通過。

在研究後不久，劉和她的同事意識到，網絡幾何布局可以通過兩種主要方法彼此不同。其中的第一個取決於網絡布局的擴展程度，而第二個則來自所謂的鏈路交叉，即鏈路彼此通過。

如圖所示同一晶格網絡的三種不同的非同痕嵌入。左側的嵌入是未纏結的；與第一個相比，中間的嵌入比第一個更糾結，而第三個嵌入則最複雜。它們的纏結程度可以通過圖形連結數來量化。

劉解釋說：「第一種差異是微不足道的，但是第二種差異令人著迷。」 「在結理論中已經研究了類似的問題，這是一個專門研究由一條或多條閉合曲線形成的結的領域。」

物理網絡的嵌入（即布局）本質上是對如何將其節點和連結放置在空間中的描述。 劉和她的同事在論文中介紹了一種稱為網絡嵌入同痕的概念，該概念可用於區分3D空間中給定網絡的不同可能嵌入。

劉說：「如果兩個網絡嵌入是相互同痕的，則意味著它們可以彼此拉伸，而不必斷開任何連結以使其他連結通過。」 「另一方面，如果兩個網絡嵌入彼此之間是非同痕的，則意味著在不切斷連結的情況下，它們永遠無法連續地相互轉化。」

正如研究人員所定義的那樣，網絡同痕的概念可以用來度量不同網絡嵌入之間的糾纏程度，該度量稱為圖形連結數。有趣的是，研究發現，該度量還與布局的彈性能量相關。

如圖所示觀察到網絡嵌入的彈性能（E）與其圖連結數（G）線性相關。網絡嵌入的彈性能與所有鏈路的總長度成比例。 E和G之間的線性關係可以通過以下事實來解釋，即G的每次增加都會拉伸網絡嵌入中的連結，從而依次增加E和每個纏結引起的能量增加量（每個纏結都會使G增加一個）被量化並為常數。

許多物理系統可以描述為網絡，其中很大一部分是物理網絡。研究人員介紹的理論概念是研究這些系統的屬性和幾何特徵的有效工具。

劉說：「這個研究有三項重要特點。」 「第一個是我們定義了網絡嵌入同痕，這是從結理論到網絡嵌入的結同痕的擴展。第二個是我們發明了圖連結數，這是衡量網絡嵌入纏結程度的一種有用方法。最後，我們發現網絡嵌入的圖形連結數與該網絡嵌入的彈性能相關。」

研究人員利用他們的發現建立了一個統計模型，該模型描述了物理網絡中纏結的形成。將來，該模型可用於評估物理系統的3-D布局的複雜程度。例如，在論文中，用它來檢查許多物理系統（例如老鼠的大腦）的纏結。該理論構造可以應用於各種各樣的物理網絡，因此它們最終可以支持針對廣泛主題的物理學研究。

劉說：「目前，正在研究一個特定的物理網絡：果蠅幼蟲大腦網絡，它是由嵌入3D空間的神經元組成的網絡。我們特別對該網絡的物理性（嵌入）之間的連接感興趣，及其結構特性（神經元如何通過神經元連線連接）。」

參考：Yanchen Liu et al. Isotopy and energy of physical networks,Nature Physics(2020).DOI: 10.1038/s41567-020-1029-z

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