函數，大家都很熟悉，可以說是中學數學學習階段最主要、最核心的內容之一。一個人如果要想學好數學，在中考高數學中取得高分，那麼他就必須學好函數，掌握好函數所有知識內容。因此，可以毫不誇張地說，函數是整個中學數學的基礎。
函數的知識內容之所以會成為中高考數學的重點與熱點，那是因為跟函數相關的題型，可以千變萬化、多種多樣，能很好考查大家運用知識解決問題的能力，考查大家數學邏輯能力，考查大家在數學解題過程中表現出來的思維能力等等。
因此，今天我們就一起來講一講函數當中非常重要的一個性質，就是函數的周期性。函數的周期性是作為函數的一個基本性質，不僅常常出現在數學函數問題當中，而且我們如果利用函數的周期性去解決問題，往往能使一個複雜問題得到更加簡便的解決。
什麼是函數的周期性？
周期性這個詞組從語文的角度來說，就是有規律地重複出現。
因此，對於任意實數（自變量有意義），當我們的自變量增大或減小時，函數值有規律的重複出現，我們就稱之為周期性。
用具體數學語言去講就是：若T為非零常數，對於定義域內的任一x，使f(x)=f(x+T) 恆成立，則f(x)叫做周期函數，T叫做這個函數的一個周期。
假如函數f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)（其中a+b=T）,則說T是函數的一個周期，T的整數倍也是函數的一個周期。
典型例題1：
關於y＝f(x)，給出下列五個命題：
①若f(－1＋x)＝f(1＋x)，則y＝f(x)是周期函數；
②若f(1－x)＝－f(1＋x)，則y＝f(x)為奇函數；
③若函數y＝f(x－1)的圖象關於x＝1對稱，則y＝f(x)為偶函數；
④函數y＝f(1＋x)與函數y＝f(1－x)的圖象關於直線x＝1對稱；
⑤若f(1－x)＝f(1＋x)，則y＝f(x)的圖象關於點(1,0)對稱．
填寫所有正確命題的序號________．
解析：由f(－1＋x)＝f(1＋x)可知，函數周期為2，①正確；
由f(1－x)＝－f(1＋x)可知，y＝f(x)的對稱中心為(1,0)，②錯；
y＝f(x－1)向左平移1個單位得y＝f(x)，故y＝f(x)關於y軸對稱，③正確；
兩個函數對稱時，令1＋x＝1－x得x＝0，故應關於y軸對稱，④錯；
由f(1－x)＝f(1＋x)得y＝f(x)關於x＝1對稱，⑤錯。
故正確的應是①③.
答案：①③
大家要記住一個概念，就是最小正周期。
對於一個函數f(x)，如果它所有的周期中存在一個最小的正數，那麼這個最小正數叫f(x)的最小正周期。
簡單地說：在函數圖象上，最小正周期是函數圖象重複出現需要的最短距離。
如對於正弦函數y=sinx, 自變量x只要並且至少增加到x+2π時，函數值才能重複取得。所以正弦函數和餘弦函數的最小正周期是2π。
值得注意：如果以後無特殊說明，周期指的就是最小正周期。
周期函數性質：
1、若T（≠0）是f(X)的周期，則-T也是f(X)的周期。
2、若T（≠0）是f(X)的周期，則nT（n為任意非零整數）也是f(X)的周期。
3、若T1與T2都是f(X)的周期，則T1±T2也是f(X)的周期。
4、若f(X)有最小正周期T*，那麼f(X)的任何正周期T一定是T*的正整數倍。
5、T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分別是f(X)的兩個周期，則 （Q是有理數集）
6、若T1、T2是f(X)的兩個周期，且 是無理數，則f(X)不存在最小正周期。
7、周期函數f(X)的定義域M必定是雙方無界的集合。
重要推論：
1、若有f(x)的2個對稱軸x=a,x=b.則T=2|a-b|
2、若有f(X）的2個對稱中心（a,0）(b,0)則T=2|a-b|
3、若有f(x)的1個對稱軸x=a,和1個對稱中心(b,0)，則T=4|a-b|
同時，在很多數學問題當中，周期性問題往往會和函數的奇偶性聯繫在一起。周期性與奇偶性相結合的綜合問題中，周期性起到轉換自變量值的作用，奇偶性起到調節符號作用。因此，大家如果想要更能更好的去解決周期性類問題，也要深入掌握好函數奇偶性的性質，如奇、偶函數的有關性質：
1、定義域關於原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件；
2、奇函數的圖象關於原點對稱，偶函數的圖象關於y軸對稱；反之亦然；
3、若奇函數f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0；
4、利用奇函數的圖象關於原點對稱可知，奇函數在原點兩側的對稱區間上的單調性相同；利用偶函數的圖象關於y軸對稱可知，偶函數在原點兩側的對稱區間上的單調性相反．
典型例題2：
大家一定要記住，利用函數的周期性是求解周期函數問題是基本的方法。此類問題的解決應注意到周期函數定義、緊扣函數圖象特徵，尋找函數的周期，從而解決問題。
在研究函數周期性過程中，我們發現函數的周期性還充分體現了數學美。函數學習，不要想的太枯燥，要學會從抽象的背後發掘數學美，發掘內在的數學思想，最終提升自身的數學素養。