先構造正確的平行四邊形再求線段最小值

2020-12-16 愛數學做數學

先構造正確的平行四邊形再求線段最小值

線段最值問題一直是幾何動點問題中的熱門考點，而其中又以武漢市的填空題最後一題頗具代表性，思維有一定難度，而一旦想明白，又顯得特別簡單，正所謂門難入，門後是坦途。讀題過程也是構圖過程，最高境界是讀題的過程中，圖形在頭腦中逐漸成型，運動過程也變得明晰。

題目

已知點D與點A（0，6），B（0，-4），C（x，y）是平行四邊形的四個頂點，其中x，y滿足3x-4y+12=0，則CD的最小值是_____

解析：

平行四邊形四個頂點已知兩個，第三個在直線上，第四個不確定，在此基礎上求CD的最小值。初讀後，發現這個任務不輕鬆，CD是平行四邊形的邊還是對角線？困擾了多數學生，於是，我們需要邊作圖，邊細讀第二遍。點A和點B在y軸上，點C滿足的等式可以看作一個一次函數y=3/4x+3，我們先作出這些已知的圖形，來嘗試確定點D的位置，如下圖：

第一次嘗試，以AB為平行四邊形的一條邊，結果無論點C在何處，CD∥AB且CD=AB=10，最小值？有問題！再來！

第二次嘗試，以AB為平行四邊形的對角線，先找到它的中點P（0，1），根據平行四邊形對角線互相平分，則CD一定被點P平分，如下圖：

似乎比剛才的還要長，錯了嗎？思路沒錯，圖形還需要修改，我們知道，CD=2PC，只要PC最小，則CD自然最小。繼續觀察PC的長度，其中點P為定點，點C所在直線為定直線，問題順利轉化成點到直線上何處最短，根據垂線段最短，知道當PC與直線y=3/4x+3垂直時最短，如下圖：

接下來的思路就是坦途了，Rt△OEF是特殊直角三角形，其三邊比滿足3：4：5，而與之相似的△CPF中，點F（0，3）與點P（0，1）間PF=2，於是順利得到PC=8/5，進而得到CD=16/5，即CD的最小值為16/5.

解題反思：

整個題目的難點在於構造平行四邊形，基本的分類思想是AB這條已知線段為邊或對角線，排除邊的可能後，利用平行四邊形對角線互相平分，將CD最小值轉為求PC最小值，最後根據定點P和定直線間的垂線段最短得到最後結果。

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