中考數學壓軸題分析:圓冪定理的應用

2021-03-01 中考數學壓軸題

切割線是圓冪定理之一。

書本可以不講，但是考試依然會考。

雖然不講，但是也不影響我們解題。因為本質上仍然是相似的判定與性質的應用。

所以平時中關鍵是掌握基礎知識與基本技能。這樣才能在應對新情境時遊刃有餘。

本文選自湖北荊門的倒數第3題。依然不算特別難。但是也是值得仔細研究。

【中考真題】

（2020•荊門）如圖，AC為⊙O的直徑，AP為⊙O的切線，M是AP上一點，過點M的直線與⊙O交於點B，D兩點，與AC交於點E，連接AB，AD，AB＝BE．

（1）求證：AB＝BM；

（2）若AB＝3，AD=24/5，求⊙O的半徑．

 

【分析】

題（1），如圖，易得△MAE為直角三角形，而AB=BE，可以得到一些直角三角形斜邊中線的模型。

利用等角對等邊即可得到AB=BM。

題（2）需要求⊙O的半徑，但是發現半徑或直徑都沒有在一個三角形裡面。

所以肯定需要適當構造輔助線，這樣才能解答。

但是題目給的條件AB、AD都沒有什麼特別的地方。因為無法直接使用求出其它的線段。

不過AB與很多線段都有等量關係，所以可以得到BM與BE的長度。

那麼現在怎麼辦呢？

把已知線段的長度代入，易得△ABM∽△DAM，即可得到AM、AE的長度。

那麼怎麼求半徑的長度呢？

何不直接連接OB？

設半徑為r，那麼利用這個黃色中的相似，即可得到半徑r的長度。

當然，本題也可以連接BC，先求出直徑AC的長度，那么半徑就自然知道了。

【答案】解：（1）∵AP為⊙O的切線，AC為⊙O的直徑，

∴AP⊥AC，

∴∠CAB+∠PAB＝90°，

∴∠AMD+∠AEB＝90°，

∵AB＝BE，

∴∠AEB＝∠CAB，

∴∠AMD＝∠PAB，

∴AB＝BM．

（2）連接BC，

∵AC為直徑，

∴∠ABC＝90°，

∴∠C+∠CAB＝90°，

∵∠CAB+∠PAB＝90°

∴∠C＝∠PAB，

∵∠AMD＝∠MAB，∠C＝∠D，

∴∠AMD＝∠D＝∠C，

∴AM＝AD=24/5，

∵AB＝3，AB＝BM＝BE，

∴EM＝6，

∴由勾股定理可知：AE=√(EM²-AM² )=18/5，

∵∠AMD＝∠C，∠EAM＝∠ABC＝90°，

∴△MAE∽△CBA，

∴ME/CA=AE/AB，

∴6/CA=(18/5)/3，

∴CA＝5，

∴⊙O的半徑為2.5．

 

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