《數位訊號處理》這門課公式特別多，我對學生的要求是不需要懂得數學公式的詳細推導，但是至少要懂得公式的物理含義是什麼，或者一大堆公式為了一個什麼目的，說明什麼問題，這些宏觀的方面掌握起來相對更容易一些，實際上也更重要。不然的話，糾纏於一些公式的細節，「只見樹木，不見森林」，對學習數位訊號處理是沒有益處的。
下面解釋兩個容易產生迷惑的概念性問題，即模擬頻率和數字角頻率，以及DFT的解析度和信號補零的關係。
一、模擬頻率和數字頻率
模擬信號的頻率比較好理解，比如說語音信號的頻率為300-3400Hz，這種頻率表示模擬信號在單位時間內振動的次數，也可以說每秒包含的周期數，即語音信號包含的成分，從每秒振動300次，到振動3400次。跟模擬信號頻率有關的現象如都卜勒效應，在移動通信中必須測量移動臺相對於基站的距離、速度大小和方向，因為這些信息在某些算法中要用到。
那麼，數字角頻率怎麼理解呢？
一個N點序列{x(n)} = {x(0), x(1), x(2), …, x(N - 1)}的離散時間傅立葉變換DTFT定義為
其中ω為數字角頻率，它和信號模擬頻率f及取樣頻率fs之間的關係(見教材P12)為
將②代入①得
公式①為ω的周期為2π的周期函數。由低通取樣定理，取樣頻率必須滿足fs ≥ 2fm，其中fm為低通信號的最高頻率，所以模擬頻率f和數字角頻率ω形成一個一一映射關係
時域的周期取樣將導致頻域的周期延拓，所以數字角頻率ω的定義域為實數R，而模擬頻率的定義域為[0, fm]，所以，在數字角頻率的其他值處，也要映射到模擬頻率[0, fm]範圍內，根據數字角頻率的周期性很容易做到這一點。公式③刻畫了對於N點序列的頻率域的描述精細程度，也即頻率解析度，N越大，頻率解析度越高。
對數字角頻率ω的理解，必須結合取樣頻率fs以及低通信號的取樣定理來進行，否則僅僅談數字角頻率是沒有意義的。例如，同樣的角頻率0.2π，當取樣率為100Hz時，對應的模擬頻率為10Hz；當取樣率為8000Hz時，對應的模擬頻率為800Hz。
實際的取樣序列x(n)都是實信號，由教材P13表1.1所示的DTFT的性質，這時X(ejω)的幅值對於ω是偶對稱的，相位對於ω是奇對稱的，所以只要知道X(ejω)在半周期[0, π]上的幅頻和相頻性質，模擬信號(其模擬頻率限制在[0, fm]之內)的幅頻和相頻性質也就完全確定了。
同時，公式③也完全確定了信號的頻率解析度，即能區分的頻率最小值。
二、DFT的解析度和信號補零
離散傅立葉變換的頻率解析度，僅僅與兩個因素有關：取樣頻率fs和非零點數N，即
其中△f即頻率解析度，其值越小，解析度越高。拿圖像來打比方，圖像的解析度和像素多少有關，像素越多，解析度越高，高清攝像機錄的圖像比普通錄像機像素多，因此解析度高。
圖1
補零主要是為了解決柵欄效應的，因為柵欄效應造成可能無法觀察到關鍵的頻率信息(峰值、估值)。如圖1所示，虛線為模擬頻率，但是觀察到的是柵欄之間的「黑點」，漏掉了兩個谷點和三個峰點。補零則使得柵欄變窄變密，可以觀察到兩個柵欄之間更多的頻率細節，但是不能說補零使得解析度變高，解析度是由圖1的虛線決定的，補零並不能增加任何信息，只能改變觀察方式，即觀察得更仔細一些。仍拿圖像打比方，當圖像尺寸和像素一定時，它的解析度也是一定的，我們可以用放大鏡對圖像進行更加細緻的觀察，但放大鏡本身並不能增加圖像的解析度，它和補零一樣，只能改變觀察方式，即觀察得更仔細一些。一張低解析度的圖像，無論如何放大都不會增加任何信息的。圖2是對一段具有雙峰譜的模擬信號以相同的取樣率截取的不同點數的兩段，其中圖2(a)截取長度為N = 32，解析度比較低，看不到真實的雙峰譜，而圖2(b)截取長度為N = 128，解析度比較高，可以看到雙峰譜。在取樣率一定時，增加數據量可以提高頻率解析度。
圖2 (a) N = 32 (b) N = 128
離散信號的解析度是由取樣點的DTFT決定的，跟取樣頻率fs和截取長度N有關，補零隻能改變觀察方式，不能改變頻率解析度，即補零之後的頻率值和原來的序列是同一個DTFT上的不同取樣值，這可以舉例說明如下
設原N點序列{x(n)} = {x(0), x(1), x(2), …, x(N- 1)}後面補N個零，變成{x′(n)} = {x(0), x(1), x(2), …, x(N - 1), 0, …, 0}，那麼補零之後的DFT為
而原來的DFT為
顯然，公式⑥可以看作是公式①在
處的取樣，而公式⑤可以看作是公式①在
處的取樣。補零之後的頻率取樣有一半和原信號是完全相同的，另一半是原來取樣的內插值。顯然，由於能看到的頻率是原來的兩倍，所以能看到更「精細」的細節，但是這種所謂的「精細」是由非零點個數N決定的，N的大小是前提。