「證明不等式」是導數壓軸題經常出現的題目，難度較大。
為什麼說難度較大呢？因為這類題目通常沒有通法，並且技巧性較強。
一般情況下，這類不等式只有一個變量，例如： 。
當然也不缺少帶有參數的「莫名其妙」的不等式，例如以下題目（2018年福建省質檢）：
例1 已知函數 。
（1）討論 的單調區間；
（2）若 ，求證：當 時， 。
注 不得不說一下這一場「省質檢」的慘案：
這場考試的數學據說「文科生拿到卷子後，以為拿到了理科的卷子；理科生拿到卷子後，以為拿到了競賽的卷子」。大家也可以找來卷子，自己感受一下。
這道題目在後面會給出解答。
一、從簡單的例子出發在上面我們見到了一個「很簡單」的不等式： 。
怎麼把它變成所謂的「含參」不等式呢？見下題：設實數 ，證明： 。
這個問題不難，直接放縮即可：注意到 ，因此 ，證畢。
但是這個問題背後還是有些值得深挖的東西的。
第一個不等號，也即 ，實際上將 固定住，把 看作一個變量。
注意到「 這個變量」的取值範圍是 ，因此有 。
令 ，其中 ，此處將 視為常量。
， 在 單調遞增。
因此 。
接下來只需證明 ，而這是顯然的。
這種方法有時候被叫做「主元法」，但是我比較喜歡把它叫做「偏導數」或是「偏微分」，因為聽起來比較酷。
二、「偏導數」像上面這樣「固定」其它變量，先對一個變量「求導」，就叫做偏導數。
導數的運算法則和一般的求導一模一樣，只是變量變了而已。
例如，如果有二元函數 ，其中 ，
對 求導則有 ，對 求導則有 。
這個工具在高等數學中非常重要，但是高中一般不怎麼涉及，因此在這裡不多加介紹。
三、「偏導數」的應用接下來，我們來看文章開頭的那道題目：
例1 已知函數 。
（1）討論 的單調區間；
（2）若 ，求證：當 時， 。
（1）解答 此處省略，
（2）證明 注意到 ，因此我們先將 視為變量。
令，
因此函數 在 單調遞增，
，只需證明
，其中 。
到這裡，變量只剩下了 ，雖然看上去有些複雜，但比原不等式簡單多了。
令 ，其中
， 在 單調遞增，在 單調遞減
因此 ，證畢。
事實上，構造出來的 為關於 的一次函數，其一次項 恆正。
因此可以知道 單調遞減，甚至可以不用求導。
下面這道題目，是2017年福建省單科之間的壓軸題：
（也許福建的老師比較喜歡這種題目吧，嘆氣）
例2 已知函數 ， 。
（1）若 不存在極值點，求 的取值範圍。
（2）若 ，證明： 。
（1）解答 此題不難，此處省略。
（2）證明 由 ， 知 ，下證該不等式在 成立。
和上面的題目類似，我們先固定 。令 ， 。
， 在 單調遞增。
因此 ，只需證明 。
考慮對 進行分類：
若 ，則 ， ， ，
，該不等式成立；
若 ，則 ，只需證明 。
令 ， 。
因此 ，該不等式成立。
綜上，不等式 在 成立，證畢。
還不過癮？再來幾道題目。
這幾道題目比較新，是2019年廈門市3月質檢的題目。
（看來福建省的老師真的比較喜歡這種題目）
例3 設函數 ， 。
（1）求 的極值；
（2）證明： 。
（1）解答 此題不難，此處省略。
（2）證明 注意到 ， 。
因此只需證明 ，其中 。
考慮對原不等式進行整理， ，到這裡已經很簡單了。
注意到 ， ，其中 。
因此 ，取等時若且唯若 ，證畢。
例4 已知函數 。
（1）若 ，求 的單調區間；
（2）若 ， ，求證： 。
（1）解答 此處省略
（2）證明 令 ，
因此 ，
只需證明 ，其中 。
這個不等式的證明還是有些難度的，但是有了第一步的題目，思路還算自然。
由（1）知：當 時，
用 代替 得： ，其中
因此
取等時若且唯若 ，證畢。
注 此處應該特別注意： 時， 。
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