在之前有一篇關於多項式求和型導數不等式的證明問題，連結為：求和型導數不等式的證明，這種題目在近幾年的高考真題中並不常見，但會在一些以數列為壓軸題的省份中出現，無論是出現在導數中還是數列中，解題思路均無很大差別，所用知識點為常見導數不等式的證明加導數放縮以及數列(或類似)不等式的證明。
此類問題除了常規的數學歸納法之外，大致還有兩種常用的證明思路，此類問題也有兩種不同的題型,當然有的也能以乘法的形式出現，由於其中多以指對數的形式出現，乘法和加法很多時候可以互相轉化。
題型一.f(1)+f(2)+...+f(n)>g(n)
在上面的連結中均為此類題型，除了直接證明之外，還能將左右兩側看作是不同的數列求和，求出左右兩側數列的通項公式，這樣就轉化為一個常見的不等式證明形式，這種題型一般前面都有其他的不等式證明，會用到之前證得的不等式，解題的關鍵是如何利用已知的不等條件證明與通項公式類型有關的不等式，這種方法在次不再舉例。
若所證不等式兩側含有指數或對數，加法以指數為主，乘法以對數為主，此時證明要用到常見的指對數放縮，e^x≥ex;e^x≥x;e&x≥x+1，lnx≤x-1,ln(x+1)≤x，通常需要對其中的x部分進行賦值或賦予其他表達式，由於左側為累加型，要放縮成可利用等差或等比求和的形式，典型例題如下：
本題目的第三問不可轉化為證明通項公式型的不等式成立，若把右側當做數列的前n項和，求出的通項公式為最高次為三次的分式形式，證明起來相當不容易，第二問中證明的其實是常用對數放縮形式lnx≤x-1，左側為lnk/k的形式，因此把對數放縮形式轉化為lnx/x≤1-1/x的形式，再利用數列放縮求和即可。
題型二.f(1)+f(2)+...+f(n)>k
這種題型和第一種沒有本質區別，可以看成f(1)+f(2)+...+f(n)>g(n)>k的形式即可，解法和上述相同。
第一問證明的為常見指數放縮形式e^x≥x+1,證明時先證明不等式左側小於某個含有n的式子，再證明這個式子小於一個常數，如下：
注意這裡為什麼要構造這種形式的g(k),第一問已經給出提示是一個原因，若設g(k)=(k/n)^n,若用x≤e^x-1這种放縮形式，取n次方之後不好判斷，若用x≤e^x，最後的結果無法證明恆小於右邊的常數，放縮過當，有興趣的可試一下。
這個題目就很容易證明了，左側為乘積的形式，可以歸納為(1+x)的形式，很明顯用1+x≤e^x放縮即可，若兩側取對數即可轉化為乘積的形式，用ln(1+x)≤x放縮即可。
第一問可用待定係數法求數列通項公式，也可以用不動點法求通項公式，相關連結可參考：不動點法和數列通項公式
和第三題相同，第二問也是乘法的形式，區別在於符號相反，觀察xn的形式，分母比分子複雜，很容易想到取倒數，取倒數之後的證明過程和例3一樣，還是利用1+x≤e^x放縮。
給出以上例題加上之前推送的求和導數不等式的證明，能看出此類問題雖綜合性較強，但難度並不大，加之新高考中對數列的要求沒那麼高了，導數極有可能會結合一定的數列知識一起考查，後續模擬題中若遇到此類較好的題目也會陸續給出。
後臺有人問到「奔馳定理」在向量中的用法，後續有時間會整理一期給出解析。